Клементе Родригес начал свою карьеру в клубе «Бока Хуниорс», где дебютировал 18 октября 2000 года в матче Кубка Меркосур с уругвайским «Насьоналем»; матч завершился вничью 3:3. 10 декабря 2000 года он дебютировал в Апертуре чемпионате Аргентины в матче с «Чакаритой Хуниорс», в котором его клуб проиграл 1:2; этот матч стал для Родригеса единственным в первенстве страны, выигранном его клубом. Всего в 2000 году он провёл 4 игры.
В следующем году Родригес завоевал место в основном составе команды: он провёл 13 матчей в Клаусуре, 12 в Апертуре и 10 матчей в Кубке Либертадорес, завоёванный его командой. Также 3 игры Клементе провёл в Кубке Меркосур. В том же году, 6 апреля, он забил первый мяч за клуб, поращив ворота «Чакариты Хуниорс». В последующие два сезона Родригес оставался игроком основы команды, выиграв с клубом ещё один чемпионат Аргентины, второй Кубок Либертадорес, а также одержав победу в Межконтинентальном кубке, где провёл все 120 минут игры с «Миланом». Всего за «Боку» Родригес сыграл 148 матчей и забил 6 голов.
В июле 2004 года начались переговоры по поводу перехода Родригеса в московский «Спартак». В мае он прилетел в Москву, где заключил контракт со «Спартаком» на 4 с половиной года. Сумма трансфера составила 4 млн евро.
С 2004 года по 2009 год — игрок московского «Спартака». Начало 2007 года провёл в аренде в «Боке Хуниорс», а сезон 2007—2008 — в испанском «Эспаньоле». Летом 2008 года вернулся в «Спартак». 11 августа 2009 года перешел в аргентинский «Эстудиантес». Дебютировал за новую команду во втором туре Апертуры 2009 в Классико против «Химнасии» (Ла-Плата), закончившемся победой «студентов» 3:0.