Родился 25 сентября 1922 года в деревне Студенец ныне Кстовского района Нижегородской области в семье крестьянина. Русский. Член ВКП(б) с 1943 года. В 1934 году семья переехала в город Дмитров Московской области. В 1938 году окончил Дмитровскую неполную среднюю школу № 5. Продолжил образование в Деденевской средней школе. Занимался в Дмитровском и Московском аэроклубах.
В Красной армии с 1940 года. В 1942 году окончил Энгельсскую военную авиационную школу пилотов, после окончания которой был направлен в запасной авиационный полк под Пензу, а оттуда для прохождения дальнейшей службы на Куйбышевский авиационный завод. Перегонял самолеты Ил-2 на фронт. Непосредственно на фронте с марта 1943 года.
Заместитель командира (он же штурман) эскадрильи 7-го гвардейского штурмового авиационного полка 230-й штурмовой авиационной дивизии 4-й воздушной армии 2-го Белорусского фронта гвардии лейтенант Аверьянов к июлю 1944 года произвёл 117 боевых вылетов, уничтожил 19 танков, 5 самолётов, 7 железнодорожных эшелонов, 5 барж, 2 катера, 11 складов с боеприпасами, много живой силы противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные при этом мужество и героизм, гвардии лейтенанту Аверьянову Константину Антоновичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4528).
К концу войны штурман 7-го гвардейского штурмового авиационного полка гвардии капитан Аверьянов совершил 176 боевых вылетов.
После войны продолжал службу в Военно-воздушных силах. Участвовал в воздушных парадах 24 июня 1945 и 9 мая 1946 годов над Красной площадью.
27 мая 1946 года гвардии капитан Аверьянов погиб при исполнении служебных обязанностей.