8-кратный чемпион СССР по конькобежному спорту на дистанциях 500 м (1939, 1940, 1943—1946, 1950) и 1500 м (1948). 3-кратный чемпион СССР по лёгкой атлетике в пятиборье (1938—1940). Как тренер подготовил О. Гончаренко, Е. Гришина, В. Косичкина и др. Был главным тренером сборной СССР, в том числе на зимних Олимпийских играх 1956, 1964, 1972, 1976. Инициатор строительства катка Медео.
Закончил Вологодский кооперативный техникум. Работал в железнодорожном депо инструктором по физкультуре. В середине 1930-х годов переехал в Москву для учёбы в Высшей школе тренеров (ныне ГЦОЛИФК), после окончания которой до 1941 года был старшим тренером по лёгкой атлетике Клуба Октябрьской революции (КОР), а затем (после учреждения в 1938 году) Всесоюзного общества «Локомотив».
Во время Великой Отечественной войны, как и многие другие известные спортсмены, сражался в ОМСБОНе. После войны сделал окончательный выбор в пользу коньков, став тренером по конькобежному спорту.
На всесоюзном уровне выступал с 1932 по 1953 год. Кудрявцеву не хватало выносливости для хороших результатов на стайерских дистанциях, поэтому он не добился побед в многоборье, но в конце 1930-х и 1940-е в СССР он был лидером в беге на 500 м: в 1936 году установил свой первый рекорд СССР, а в 1939 году впервые стал чемпионом СССР (поделил первое место с Иваном Аникановым).
29 января 1940 года установил рекорд СССР, ненамного уступавший мировому — 42,0 против 41,8 (при этом мировой рекорд был установлен на среднегорье в Давосе, а результат Кудрявцева — в равнинной Москве). За это достижение Кудрявцев был удостоен звания «заслуженный мастер спорта». Этот рекорд СССР был побит только через 12 лет на Медео.
В 1948 году Кудрявцев был одним из 12 ведущих конькобежцев СССР, которые подписали письмо в ЦК ВКП(б) и Совета Министров СССР о несогласии с неучастием конькобежной сборной СССР в чемпионатах мира и Европы. В результате сборная СССР поехала на чемпионаты мира; мужская команда на своём чемпионате выступила неудачно, что вызвало недовольство Сталина. Кудрявцев выиграл 500 м (43,9), но не попал на 10 000 м. После чемпионата Кудрявцев был назначен главным тренером сборной СССР.
Ещё до войны Кудрявцев искал место, где можно было бы построить высокогорный каток. В 1949 году Кудрявцев побывал под Алма-Атой, где выбрал место для строительства катка, и к сезону 1950/51 стадион Медео был построен. Там 12 февраля он и установил свой последний рекорд СССР — на 1500 м.
Константин Кудрявцев умер 31 января 1994 года, похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.
В качестве рекордов СССР до 1946 года фиксировались только результаты, показанные на территории СССР. В таблице приведён также показанный за границей результат, бывший на тот момент абсолютно лучшим для конькобежцев СССР (выделен курсивом).
Осло Москва