Константин Матвеевич Бобошко родился 28 мая 1918 года в селе Великие Будки Недригайловского района Сумской области УССР.
Получив неполное среднее образование, Константин Матвеевич Бобошко работал в родном селе.
Константин Матвеевич Бобошко был призван в ряды РККА в 1938 году.
Константин Матвеевич Бобошко принимал участие в Советско-финской войне. После окончания войны Константин Матвеевич Бобошко закончил артиллерийские курсы.
С июля 1941 года Константин Матвеевич Бобошко участвовал в Великой Отечественной войне. Воевал на Калининском и Первом Прибалтийском фронтах. За это время Константин Матвеевич Бобошко был трижды ранен и контужен.
Оставшись единственным не выбывшим человеком из своего расчёта у деревень Пушкари и Романенки (Смоленский район), капитан Константин Матвеевич Бобошко дважды вступал в бои с немецкими танками, при этом, подбив 7 танков гитлеровцев.
В КПСС капитана Константина Матвеевича Бобошко приняли в 1942 году.
В течение боёв за город Духовщина (Смоленская область) 23 августа — 20 сентября 1943 года капитан Константин Матвеевич Бобошко огнём батареи подавил 3 орудия, 14 пулемётных точек и 3 миномётные батареи и уничтожил несколько сотен гитлеровцев.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 июня 1944 года за умелое руководство подразделением, личное мужество и отвагу, проявленные в боях с врагом, гвардии капитану Константину Матвеевичу Бобошко присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
Константин Матвеевич Бобошко в 1945 году закончил курсы усовершенствования офицерского состава, а потом и Высшую офицерскую артиллерийскую школу в Ленинграде.
В 1946 году капитан Константин Матвеевич Бобошко уволен в запас. После увольнения в запас Константин Матвеевич Бобошко работал на торфопредприятиях Новгородской области. Проживал в городе Запорожье.
Умер 26 ноября 1994 года.