Родился 8 января 1924 года в деревне Уна Архангельского уезда Архангельской губернии. Трудовую деятельность начал с 11 лет, работая в леспромхозе.
Призван в ряды Красной Армии в сентябре 1941 года. Проходил службу в 432-й лыжной разведывательной роте. Участник боёв за Тихвин. Мошников К. М. демобилизован после лечения в госпитале, в который попал в результате тяжёлого ранения на фронте в феврале 1942 года. В этом же году возвратился на родину. Неоднократно пытался вернуться на фронт, но так как в связи с ранением был признан негодным к службе, в военкомате получал отказ.
С февраля 1946 года проживал в городе Мурманске, где работал на траловом флоте. Был признанным мастером по лову рыбы в стране, дослужился до должности старшего тралмайстера.
В 1955—1956 годы принимал участие в первой советской антарктической экспедиции.
В конце 1950-х годов в городе Киль участвовал в приёмке одного из первых в СССР больших морозильных рыболовных траулеров БМРТ-252 «Гоголь», а также прошёл обучение по новаторскому методу добычи рыбы — кормовому тралению. В 1964 году БМРТ «Гоголь» был установлен рекорд по вылову рыбы — 123 тысячи центнеров.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 апреля 1971 года Константину Матвеевичу Мошникову присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и медали «Серп и Молот».
Мошников продолжал работу на траловом флоте да выхода на пенсию в 1988 году. Умер 23 сентября 2010 года.