Родился 25 октября (7 ноября по новому стилю) 1903 года в селе Алай Саратовской губернии (ныне — с. Алай Балтайского района Саратовской области) в крестьянской семье.
Закончив сельскую школу (первой ступени в с. Алай, второй — в с. Балтай), с 1921 до 1925 года занимался вместе с отцом крестьянским трудом. В 1925 году был призван в ряды Красной Армии и направлен в дивизионную школу в городе Слуцке Белорусской ССР. Окончил школу в 1926 году, получив звание комвзвода, и продолжил учёбу в политшколе второй ступени. После завершения курса обучения был направлен в Баку и назначен политруком роты.
В 1932 году Кувыкин поступил в Азербайджанский нефтяной институт (г. Баку), который ему пришлось оставить из-за большой занятости в предприятии «Азнефть», но в 1935 году он закончил годичные курсы повышения квалификации руководящего состава нефтетреста.
В 1943 году (после длительного перерыва) продолжил учёбу (начатую в Баку) на заочном отделении Московского нефтяного института имени И. М. Губкина, который закончил в 1947 году без отрыва от производства. Дипломный проект он писал по организации разведки и разработки девона Туймазинского месторождения.
В 1956 году на заседании учёного совета Московского нефтяного института Кавыкин С. И. защитил кандидатскую диссертацию, посвящённую вопросам бурения скважин малого диаметра. Он был одним из авторов-конструкторов буровой установки «Уфимец», широко используемой в 1950-е годы для ускоренной нефтеразведки скважинами малого диаметра.
В 1957 году Степан Иванович был удостоен звания «Заслуженный деятель науки и техники Башкирской АССР».
В октябре 1927 года Кувыкин демобилизовался из рядов РККА и остался в Баку, где поступил рядовым рабочим в буровую партию треста «Азнефть». Освоил профессию буровика и стал сначала помощником бурильщика, а затем бурильщиком на промыслах «Азнефти». Для получения новых знаний с целью совершенствования действующего и создания нового бурового оборудования 26-летний Кувыкин был переведен на «Завод им. 1 Мая» треста «Азнефть», где в 1929 году был назначен техником-распорядителем, в 1931 году — начальником отдела оборудования, а вскоре и директором завода, который возглавлял до 1933 года.
С 1933 по 1935 годы был начальником отдела мобилизации ресурсов треста «Азнефть» и одновременно руководил строительством трубнонарезного завода этого треста. После окончания строительства Кувыкин был назначен директором трубнонарезного завода треста «Азнефть», где проработал до середины 1938 года.
В июле 1938 года С. И. Кувыкин приказом Главнефти был переведен в г. Куйбышев в распоряжение объединения «Востокнефть» на должность начальника производственно-распорядительного отдела, а в 1941 году — на должность управляющего трестом «Бугурусланнефть».
В апреле 1942 года был направлен в Башкирию, где возглавил поначалу «Башнефтекомбинат», в который входили тогда и нефтепромыслы и перерабатывающие заводы, а с 1 января 1945 года (после разделения предприятия на два объединения — добычи и переработки) — «Башнефть». На должности начальника объединения «Башнефть» Кувыкин оставался до 1957 года.
В 1957—1958 годах он занимал должность начальника Управления нефтедобывающей промышленности СНХ Башкирского экономического административного района, а затем первого заместителя Председателя СНХ Башкирского экономического административного района. С 1958 года по 25 декабря 1962 года работал Председателем СНХ Башкирского экономического административного района до своего перевода в Москву.
В 1963—1965 годах — Первый заместитель Председателя Совета Народного хозяйства РСФСР.
В 1965—1970 годах — Заместитель министра нефтяной промышленности СССР.
С 1970 года — Персональный пенсионер союзного значения.
Умер Степан Иванович Кувыкин от рака крови 16 сентября 1974 года и был похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве. Башкирские нефтяники привезли и поставили на его могиле гранитный памятник.
Кувыкин также активно участвовал в государственной и общественно-политической жизни страны. Был членом КПСС, неоднократно избирался в состав Башкирского обкома КПСС, был депутатом Верховного Совета СССР четырёх созывов, делегатом трёх съездов КПСС.