Член ВКП(б) с 1920 года. Депутат Верховного Совета СССР 1, 2 и 3 созывов. Депутат Верховного Совета БССР первого созыва. По национальности — мегрел. Уволен с должности министра государственной безопасности БССР в феврале 1952 года, вероятно, в рамках подготовки к планируемому смещению Л.П. Берия. После смерти Сталина был арестован, умер в тюрьме во время следствия.
Лаврентий Джанджава родился в мегрельской деревне Нахуново Сенакского уезда Кутаисской губернии (ныне — Хут-Сопели Гегечкорского района) в семье крестьянина. В органах ВЧК с 1921 года. С 1922 по 1924 год был исключён из партии по обвинению в умыкании невесты. В 1937 году окончил Одесский педагогический институт.
В декабре 1938 года майор госбезопасности Л. Ф. Цанава был назначен наркомом внутренних дел Белоруссии. Был одним из организаторов массового расстрела заключенных — 3870 человек (по другим данным 4465 человек) в Западной Беларуси.
В годы Великой Отечественной войны на фронте. Постановлением Государственного Комитета Обороны СССР № 57 от 8 июля 1941 года комиссар госбезопасности 3 ранга Л. Ф. Цанава был назначен уполномоченным ГКО в Смоленской области. С 1941 по 1942 год — начальник Особого отдела Западного фронта, с июня 1942 года — заместитель начальника Управления особых отделов НКВД СССР, в марте 1943 года был назначен начальником Особого отдела НКВД Центрального фронта. С октября 1951 года — заместитель министра госбезопасности СССР, одновременно начальник 2-го Главного управления МГБ СССР.
Уверенные в своей безнаказанности сотрудники МГБ совершили убийство С. М. Михоэлса прямо на даче Лаврентия Цанава.
Показания Цанавы, согласно изложению в Записке Л. П. Берии:
15 февраля 1952 году освобождён от должности министра государственной безопасности БССР и уволен из органов госбезопасности «за серьёзные ошибки». Вероятно сразу арестован и допрошен с целью сбора компрометирующей информации против своего друга Л.П. Берии в рамках подготовки к смещению Берия, планируемого ещё при жизни Сталина. По некоторым данным Цанава после смерти Сталина был освобождён, фигурировал одним из распорядителей на его похоронах, а через месяц, 4 апреля 1953 года снова арестован по приказу Л. П. Берия. В числе прочего Цанава был обвинен в соучастии в убийстве С. М. Михоэлса. Цанава написал свое последнее письмо К. Е. Ворошилову все ещё пытаясь выторговать спасение.
Согласно приказу Главлита БССР от 15 июля 1953 года весь тираж этой книги — 10 000 экземпляров — было предписано «конфисковать из библиотек общественного пользования и книготорговли». Такая же судьба постигла и 60 000 экземпляров одноимённого русскоязычного двухтомника.