Начал профессиональную карьеру в 1997 году в составе «Эстудиантеса». В 2001—2007 годах выступал за три аргентинские команды — «Олимпо», «Кильмес» и «Архентинос Хуниорс».
В ходе матча Кубка Либертадорес 2005 за «Кильмес» Десабато был обвинён в расистских высказываниях в адрес игрока «Сан-Паулу» Графите, после чего провёл одну ночь в тюрьме. Был освобождён после того, как легендарный бразильский футболист Тостао в своей колонке выступил в защиту аргентинца, отметив, что выпадка не имела расистского оттенка и Десабато просто поддался на провокацию, коих во множестве бывает в футбольных матчах.
После успешного сезона 2006/07 в «Архентинос» Десабато позвал его родной «Эстудиантес» и с 2007 года футболист вновь стал защищать цвета «пинчарратос». Особенно успешным стали для игрока и команды период со второй половины 2008 года, когда «Эстудиантес» дошёл до финала Южноамериканского кубка 2008, где уступил бразильскому «Интернасьоналу». В 2009 году Десабато был абсолютно незаменим в защитных порядках клуба из Ла-Платы. Его партнёры получали травмы, менялись, но место Десабато в основе не подвергалось сомнению. «Эстудиантес» в итоге завоевал свой четвёртый Кубок Либертадорес.
Леандро Десабато был вызван Диего Марадоной в сборную Аргентины на товарищеский матч против Ганы 30 сентября 2009 года, однако тогда он не сыграл за первую команду страны. Дебютировал за сборную в 2011 году — Десабато провёл обе игры против сборной Бразилии в матчах за Кубок Рока.