Окончил Санкт-Петербургский университет (1903). Профессор навигации в Технической школе (1916—1918), заведующий кафедрой истории в Институте географии в Петрограде.
В 1918, после Октябрьской революции покинул Россию и поселился в Берлине. В 1945 переехал в Стокгольм, где жил до конца жизни. На всех этапах своей жизни совершал продолжительные путешествия с целью знакомства с ранними картами и содействия развитию международного научного сотрудничества.
Автор более 70 научных работ. В 1935 основал международный журнал Imago Mundi, посвящённый истории картографии. При жизни основателя вышло 13 годовых выпусков; журнал издаётся и по сей день. В 1943 закончил работу над обобщающей монографией «История картографии», в которой были отражены основные этапы развития картографии с древнейших времён и вплоть до XVIII века; охват не ограничивался только европейской картографической традицией. Впервые книга была издана в берлинском издательстве «Safari Verlag» в 1951. Книга выдержала несколько переизданий, была переведена на несколько языков. Для последующих изданий была заметно переработана автором. Подготовил к выпуску факсимильное издание рукописной «Xорографической чертёжной книги» (1697—1711) С. У. Ремезова (1958).
Лео Багров оставил после себя уникальную коллекцию старинных карт, в основном — карт России.