Алекс Дюпон родился 22 ноября 1960 года в парижском пригороде Сюрен в семье француза и американки. Псевдоним Leos Carax является анаграммой, составленной из его имён Alex и Oscar. О жизни режиссёра почти ничего неизвестно, так как он очень редко даёт интервью. По слухам, Каракс рано бросил школу, работал клейщиком афиш и не имеет режиссерского образования.
Первым полнометражным фильмом Каракса стал фильм «Парень встречает девушку» (1984), в котором снялась его девушка Мирей Перье. На роль главного героя Каракс пригласил безработного в ту пору актёра Дени Лавана, своего ровесника, который стал альтер-эго режиссёра. В оставшихся двух частях «трилогии об Алексе» — фильмах «Дурная кровь» (1986) и «Любовники с Нового моста» (1991) роль главной героини досталась новой музе Каракса Жюльет Бинош, роман с которой закончился вскоре после окончания съёмок «Любовников».
Новой музой Каракса стала жена литовского режиссера Шарунаса Бартаса Катерина Голубева, сыгравшая главную роль в провальной драме «Пола Икс» (1999), снятой по мотивам книги Германа Мелвила «Пьер, или Двусмысленности».
Также Каракс снялся в нескольких лентах в качестве актёра, в том числе в российском фильме «977».