Родился Леонардо Сандри 18 ноября 1943 в Буэнос-Айресе, в Аргентине. Из семьи итальянского происхождения. Сын Антонио Энрико Сандри и Неллы Риги.
Окончил митрополичью семинарию Буэнос-Айреса, в Буэнос-Айресе, теологический факультет, Буэнос-Айрес (лиценциат в богословии), а также Папский Григорианский Университет, в Риме (докторантура в каноническом праве); проживал в Папском Collegio Pio-Latinoamericano, в Риме и Папскую Церковную Академию, в Риме (дипломатия). Помимо своего родного испанского, он говорит по-итальянски, по-французски, по-английски и по-немецки.
Сандри был рукоположен в священники 2 декабря 1967, в капелле Непорочного зачатия Пресвятой Девы Марии в старшей семинарии Буэнос-Айреса, архиепископом Хуаном Карлосом Арамбуру, коадъютором-архиепископом Буэнос-Айреса. Он был зачислен священником в митрополии Буэнос-Айреса. Приходской викарий и секретарь кардинала Хуана Карлоса Арамбуру. Послан в Рим, чтобы продолжить свое обучение в 1970.
Поступил на дипломатическую службу Святого Престола в 1974. Служил в нунциатурах на Мадагаскаре и Маврикие; в Государственном Секретариате Святого Престола, с 1977 по 1989; и в нунциатуре в Соединенных Штатах Америки как постоянный наблюдатель Святого Престола при Организации американских государств, с 1989 по 1991. Регент префектуры Папского Дома, 22 августа 1991. Эксперт Государственном Секретариате Святого Престола по общим делам, 2 апреля 1992.
22 июля 1997 Сандри был назначен титулярным архиепископом Читтановы и апостолическим нунцием в Венесуэлу. Посвящён в архиепископы 11 октября того же года, в патриаршей Ватиканской базилике, в Ватикане, кардиналом Анджело Содано — Государственным Секретарем Святого Престола, которому помогали в сослужении кардинал Хуан Карлос Арамбуру, бывший архиепископ Буэнос-Айреса и Джованни Баттиста Ре, титулярный архиепископ Весковьо, заместитель Государственного Секретаря Святого Престола по общим делам. 1 марта 2000 он стал апостолическим нунцием в Мексике, но пробыл там недолго, так как в сентябре 2000 был назначен на высокую должность в Государственный Секретариат Ватикана.
16 сентября 2000 Сандри стал заместителем Государственного Секретаря Ватикана по общим вопросам. В Секретариате его обязанности включали организацию действий Римской курии и назначение на куриальные посты, поддержание в должном порядке папских документов и их сохранение, хранение папской печати и Кольца Рыбака, взаимоотношение посольств со Святым Престолом, координирование действий нунциев Святого Престола и публикации официальных сообщений.
Он зачитывал сообщения папы римского Иоанна Павла II, когда папа не мог читать их непосредственно из-за своей болезни; он объявил миру смерть папы римского Иоанна Павла II 2 апреля 2005 на площади Святого Петра. При новом папе римском Бенедикте XVI сохранил свой пост, 21 апреля 2007.
9 июня 2007 папа римский Бенедикт XVI назначил архиепископа Сандри про-префектом (исполняющим обязанности) Конгрегации по делам восточных церквей вместе ушедшего кардинала Игнатия Муссы I Дауда. Скорее всего архиепископ Сандри получит кардинальскую шапку на следующей консистории (которая по некоторым данным планируется в октябре 2007), и станет полноценным кардиналом-префектом, так как занял пост занимаемый исключительно кардиналами. Однако, чтобы помогать облегчить гладкий переход дел к Филони, папа римский Бенедикт XVI попросил, чтобы Сандри остался на своем текущем посте до 1 июля 2007.
17 октября 2007 папа римский Бенедикт XVI объявил о том, что назначит 23 новых кардинала на консистории от 24 ноября 2007. Первое место в списке занимает Леонардо Сандри.
24 ноября 2007 Леонардо Сандри был возведен в сан кардинала-дьякона с дьяконством Ss. Biagio e Carlo ai Catinari.
Кардинал Сандри в дополнение к свои обязанностям префекта — член различных ведомств курии. В мая 2008 папа римский Бенедикт XVI назвал кардинал Сандри членом Папского Совета по интерпретации законодательных текстов.
12 июня 2008 в дополнение к свои главным обязанностям он был назначен Бенедиктом XVI членом конгрегаций в Римской курии: Конгрегации Евангелизации Народов и Папского Совета по содействию Христианскому Единству, а также Папского Совета по межрелигиозному диалогу.