Родился 8 июля 1905 года в Москве. В 1925 году поступил в Государственный техникум кинематографии (сейчас — ВГИК), окончил его в 1928 году с дипломом художника-декоратора. C 1926 года работал на киностудии «Межрабпом-Русь» сначала помощником декоратора, затем — мультипликатором. Вскоре после окончания обучения поступает на работу художником-мультипликатором на киностудию «Госвоенкино» (вставки в комбинированную картину Юрия Меркулова «Первая Конная»).
В начале 1930-х Амальрик переходит на киностудию «Межрабпомфильм». В рисованноим фильме «Блэк энд уайт» (1932) был впервые упомянут в титрах как режиссёр и художник (наравне с И. П. Ивановым-Вано). К середине 1930-х становится самым известным мультипликатором Москвы.
В 1936 г. перешёл на новообразованную киностудию «Союзмультфильм». Вначале работал в жанре политической сатиры, затем вместе в Владимиром Полковниковым увлёкся современной сказкой. В 1939 году ставится один из первых удачных цветных анимационных фильмов «Лимпопо».
Несмотря на эвакуацию части «Союзмультфильма» в Самарканд, Амальрик остаётся в Москве, где выступает одним из инициаторов съёмок мультипликационного сатирического плаката «Кино-цирк» (1942). На студии «Воентехфильм» работает над инструктивными мультипликационными картинами: например, «Немецкая оборона и ее преодоление».
После выхода в 1953 году мультфильма "Волшебный магазин" Амальрик и Полковников начали работать отдельно.
Первым самостоятельным фильмом стал снятый в 1954 г. фильм «Стрела улетает в сказку». Всеобщую известность Амальрику приносят фильм-опера «Кошкин дом» (1958) по пьесе С. Я. Маршака, экранизация сказки Андерсена «Дюймовочка» (1964), фильм «Про бегемота, который боялся прививок» по сказке Милоша Мацоурека. Примечательно, что практически ко всем мультфильмам Амальрика музыку писал Никита Богословский.
После создания фильма «Терем-теремок» в 1971 г. прекратил работу в кино.
Жена Леонида Алексеевича художник Надежда Михайловна Привалова работала вместе с мужем над многими его мультфильмами.