В 1953 году окончил механический факультет Уральского политехнического института им. С. М. Кирова по специальности «механическое оборудование металлургических заводов».
После окончания института работал инженером-конструктором на Уралмашзаводе, в ноябре 1954 избран 2-м секретарём Орджоникидзевского райкома ВЛКСМ г. Свердловска, однако через год ушёл с комсомольской работы и вернулся обратно на завод, работал сменным мастером, мастером цеха, руководителем группы отдела главного конструктора прокатного оборудования Уралмашзавода. В 1956 году вступил в КПСС.
В 1961 году перешёл на партийную работу, став сначала вторым, а с февраля 1963 года — первым секретарём Орджоникидзевского райкома КПСС г. Свердловска. В марте 1969 года переведён в Свердловский горком КПСС на должность второго секретаря, а в октябре 1971 года возглавил горком.
В ноябре 1976 года при формировании нового руководства обкома (во главе с Б.Н. Ельциным) Бобыкин был избран секретарём по машиностроению и оборонной промышленности, однако уже в феврале 1977 года он был повышен до второго секретаря обкома. В мае 1983 года переведён в центральный аппарат, сначала был заместителя заведующего, а с января 1986 года — заведующим Отделом лёгкой промышленности и товаров народного потребления ЦК КПСС. На XXVII съезде КПСС (февраль 1986 г.) был избран кандидатом в члены ЦК КПСС.
16 июня 1988 года был избран первым секретарём Свердловского обкома КПСС. Находился во главе области немногим более полутора лет, 12 февраля 1990 года, через две недели после 60-летнего юбилея, был отправлен на пенсию. Персональный пенсионер союзного значения.