Родился в 1882 году в Московской губернии. В 1911 окончил Московское училище живописи, ваяния и зодчества. После окончания училища Эберг получает приглашение в Ростов-на-Дону на должность под названием «заведование постройками в Ростове».
Здесь молодой зодчий развернул активную деятельность, построив за первые три года работы более десяти доходных домов. Кроме того, им были выстроены особняки: П. И. Кромара в стиле итальянского Возрождения, Н. П. Хахладжева в стиле Палладио, Н. Е. Парамонова в греческом стиле.
Жил в доме на углу современных ул. Горького и Семашко (ул. Семашко, 80). В 1930-х — на ул. Серафимовича, 76. Скончался в 1954 году, похоронен на Братском кладбище Ростова-на-Дону. Могила расположена в четвертом квартале кладбища. В середине 1950-х гг. на ней установлен металлический узорчатый крест с табличкой «Архитектор Эберг Леонид Федорович, 1882—1954».
Сын Л. Ф. Эберга, Л. Л. Эберг, также стал архитектором; он известен своим участием в проектировании ростовского кинотеатра «Россия» в парке Горького (1959; ныне — музыкальный центр Кима Назаретова).