Леонид Филатов родился 24 декабря 1946 года в Казани. Родители — однофамильцы: отец Филатов Алексей Еремеевич (1910—1953), мать Филатова Клавдия Николаевна (1924—2007). Семья часто переезжала — отец был радистом и много времени проводил в экспедициях. Когда мальчику исполнилось семь лет, родители развелись, и Леонид с матерью уехал в Ашхабад к родственникам. Учился в школе № 6. Ещё будучи школьником, начал печататься в ашхабадской прессе.
В 1965 году после школы приехал в Москву, рассчитывая поступать на режиссёрский факультет ВГИКа. Попытка была неудачной, и Леонид по совету одноклассника решил сдать экзамены на актёрский факультет Щукинского училища. Был принят на курс В. К. Львовой и Л. М. Шихматова, окончил театральное училище в 1969 году.
В 1969 году становится актёром Московского театра на Таганке. Первая главная роль — Ведущий — в спектакле «Что делать?». Играл в спектаклях «Мастер и Маргарита», «Вишнёвый сад», «Дом на набережной», «Пристегните ремни», «Пугачёв», «Антимиры», «Товарищ, верь»; роли Горацио в «Гамлете», Кульчицкого в «Павших и живых», Федерциони в «Жизни Галилея»; «Игроки-21» (творческое объединение «Артель артистов Сергея Юрского»).
С 1985 по 1987 год «Таганку» возглавляет Анатолий Эфрос — Филатов в это время работает в театре «Современник», затем возвращается в «Таганку».
В 1993 году вместе с Николаем Губенко, Натальей Сайко, Ниной Шацкой и другими актёрами создаёт творческое объединение «Содружество актёров Таганки».
С 1970 года Филатов работает в кино, снимается в фильмах «Город первой любви», «Экипаж», «Женщины шутят всерьёз», «Грачи», «Успех», «Чичерин», «Забытая мелодия для флейты», «Город Зеро», «Благотворительный бал». В 1990 году снял по своему сценарию фильм «Сукины дети», сыграв там одну из ролей.
С 1995 года по 2003 год Филатов вёл на телеканале ОРТ передачу «Чтобы помнили», посвящённую незаслуженно забытым, хотя и известным в прошлом артистам, ушедшим из жизни. Программа выпускалась телекомпанией REN-TV.