Родился в семье шофёра Ивана Прохоровича Рогозова (1905 г. р.) и доярки Евдокии Емельяновны (1908 г. р.) третьим из четверых детей. Вскоре семья была сослана по политическим мотивам в Алма-Ату, а в 1936 году перебралась в Минусинск (Красноярский край), где Леонид и поступил в среднюю школу. Во время Великой Отечественной войны, в 1943 году, отец погиб на фронте. После семи классов Леонид обучался в училище на горного мастера, однако затем вернулся в школу и успешно её окончил. После службы в армии поступил в 1953 году в Ленинградский педиатрический медицинский институт (лечебный факультет).
В 1959 году Леонид Рогозов окончил институт и сразу же был зачислен в клиническую ординатуру по хирургии. Однако обучение в ординатуре было на время прервано в связи с тем, что 5 ноября 1960 года Леонид отбыл на дизель-электроходе «Обь» в Антарктиду в качестве врача 6-й Советской Антарктической экспедиции. В Антарктиде, куда судно прибыло в декабре, Леонид Рогозов, помимо своей основной должности, исполнял обязанности метеоролога и даже водителя. После девяти недель подготовительных работ, 18 февраля 1961 года, в оазисе Ширмахера была открыта новая советская антарктическая станция — Новолазаревская. Во время первой зимовки на ней произошло событие, сделавшее 27-летнего хирурга известным на весь мир.
29 апреля 1961 года Леонид обнаружил у себя тревожные симптомы: слабость, тошноту, повышенную температуру тела и боли в правой подвздошной области. Будучи единственным врачом в экспедиции, состоявшей из 13 человек, Леонид сам поставил себе диагноз: острый аппендицит. Консервативная тактика лечения (покой, голод, местный холод и антибиотики) успеха не имела. На следующий день температура поднялась ещё выше. Ни на одной из ближайших антарктических станций не было самолёта, кроме того, плохие погодные условия всё равно не позволили бы выполнить полёт на Новолазаревскую, находящуюся в 80 км от берега. Для того, чтобы спасти жизнь заболевшего полярника, необходима была срочная операция на месте. И единственным выходом в сложившейся ситуации было делать операцию самому себе.
Выполнять операцию ночью 30 апреля 1961 года хирургу помогали метеоролог Александр Артемьев, подававший инструменты, и инженер-механик Зиновий Теплинский, державший у живота небольшое круглое зеркало и направлявший свет от настольной лампы. Начальник станции Владислав Гербович дежурил на случай, если кому-то из ассистентов, никогда не имевших отношения к медицине, станет плохо. В лежачем положении, с полунаклоном на левый бок, врач произвёл местную анестезию раствором новокаина, после чего сделал при помощи скальпеля 12-сантиметровый разрез в правой подвздошной области. Временами смотря в зеркало, временами на ощупь (без перчаток), он удалил воспалённый аппендикс и ввёл антибиотик в брюшную полость. Спустя 30—40 минут от начала операции развилась выраженная общая слабость, появилось головокружение, из-за чего приходилось делать короткие паузы для отдыха. Тем не менее, к полуночи операция, длившаяся 1 час 45 минут, была завершена. Через пять дней температура нормализовалась, ещё через два дня были сняты швы.
Это событие описано Леонидом Рогозовым в «Информационном бюллетене Советской Антарктической экспедиции» (Рогозов Л. И. «Операция на себе» // «Бюллетень советской Антарктической экспедиции». Москва, 1962. Вып. 37. Стр. 42—44).
В петербургском музее Арктики и Антарктики имеется экспозиция, представляющая хирургические инструменты, которыми Леонид Рогозов выполнил эту операцию.
Лётчик-космонавт СССР Герой Советского Союза Герман Титов в своей книге «Голубая моя планета» написал:
В 1963 году Владимиром Высоцким была написана песня, посвящённая описываемому событию:
Вернувшись в октябре 1962 года из антарктической экспедиции в Ленинград, Л. И. Рогозов завершил через год своё обучение в клинической ординатуре по хирургии (октябрь 1963 года). В марте 1963 года он стал членом КПСС. В том же году поступил в аспирантуру при ЛПМИ. Результатом трёхлетней подготовки стала защита в сентябре 1966 года кандидатской диссертации «О резекции нижней трети пищевода по поводу рака».
Свободно владел болгарским языком, разговаривал также на немецком, английском, чешском языках.
Был оперирован по поводу рака лёгкого. Скончался 21 сентября 2000 года в результате послеоперационных осложнений на 67-м году жизни. Похоронен на Ковалёвском кладбище (участок 35).
В 1961 году награждён орденом Трудового Красного Знамени. Был отмечен знаками «Отличнику здравоохранения», «Почётному полярнику», а также Почётной грамотой ЦК ВЛКСМ.