Родился 23 апреля (6 мая) 1917 года в деревне Стрункино (ныне Вилегодского района Архангельской области) в многодетной крестьянской семье, был одиннадцатым ребёнком в семье.
В 1929 году Леонид окончил четырёхлетнюю школу, а в следующем году уехал к старшему брату Феодосию в город Красноуральск Свердловской области. Там в 1934 году он окончил восьмилетнюю школу и после летних подготовительных курсов в том же году поступил на физико-математический факультет Пермского государственного университета. Окончил его с отличием в 1939 году и поступил в аспирантуру Физического института им. П. Н. Лебедева АН СССР. В октябре 1941 года защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук на тему: «Рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах».
C наступившей Великой Отечественной войной Л. М. Бреховских начал работать в группе члена-корреспондента (впоследствии академика) АН СССР Н. Н. Андреева над созданием методов и средств защиты кораблей от немецких акустических мин. В 1947 году защитил докторскую диссертацию по теории распространения звуковых и электромагнитных волн в слоистых средах. В 1948 году за цикл работ, изложенных в его диссертации, он был удостоен премии имени академика Н. Д. Папалекси. В 1951 году за открытие подводного звукового канала ему и другим участникам коллектива (Л. Д. Розенберг, Н. И. Сигачев, Б. И. Карлов) была присуждена Сталинская премия первой степени.
В 1953 году Леонид Бреховских был утверждён в звании профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова и избран членом-корреспондентом АН СССР. В 1954—1980 годах работал в Акустическом институте АН СССР.
В 1968 году был избран действительным членом (академиком) АН СССР, в 1969 — стал академиком-секретарём Отделения океанологии, физики атмосферы и географии АН СССР, которым бессменно руководил до конца 1991 года.
С 1975 по 1998 годы Леонид Максимович заведовал кафедрой «Физика гидрокосмоса» Московского физико-технического института.
В 1980 году Бреховских организовал и до 1992 года возглавлял в Институте океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР отдел акустики океана.
Жил в городе Москве. Умер 15 января 2005 года. Похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.