Местом рождения Леонида Матвеевича является Оршанский район. Детство его прошло в тяжелые годы Великой Отечественной Войны. В 1955 году Барковский поступает на физико-математический факультет Могилевского педагогического института. По окончании института в течение года работает учителем физики в деревне Новоселки Могилевского района. В 1961 году поступает в аспирантуру БГУ к Ф.И. Федорову. С 1961 по 1964 годы он трудится над кандидатской диссертацией, являясь аспирантом кафедры теоретической физики Белорусского государственного университета. Проработав год после аспирантуры инженером проблемной лаборатории полупроводниковой техники БГУ, в 1965 году Барковский защищает кандидатскую диссертацию на тему "Ковариантная теория эффектов вынужденной анизотропии в кристаллах". Тогда же он становится старшим преподавателем кафедры общей физики БГУ. Уже через три года (в 1968 году) Барковский получает звание доцента кафедры общей физики. Защитив в 1980 году докторскую диссертацию на тему "Операторные методы в оптике и акустике кристаллов", через два года Леонид Матвеевич становится профессором кафедры общей физики. В 1983 г. Барковский становится заведующим кафедрой общей физики, а через год избирается на ту же должность на кафедре теоретической физики Белорусского государственного университета. Барковский возглавлял кафедру в течение 21 года. Сейчас Леонид Матвеевич занимается преподаванием на кафедре теоретической физики.
Барковский является прямым учеником академика Федорова, поэтому область его научных интересов тесно связана с теоретической оптикой и акустикой. Леонид Матвеевич посвятил себя разработке ковариантной теории наведенной анизотропии кристаллов, развитию операторных методов решения тензорных линейных и нелинейных волновых уравнений в оптике и акустике сложных (бианизотропных) сред, обобщению методов геометрической оптики и акустики (с использованием тензорной функции эйконала).
Барковский является членом научного Совета по защите диссертаций по специальности оптика. Он является членом ряда международных физических обществ: Белорусского физического общества, Американского оптического общества (OSA) c 1995 года, корреспондент Международного союза радиофизиков (URSI) с 1994 года. Барковский опубликовал более 160 научных работ, в том числе две монографии (совместно с А.Н. Фурсом).
Под руководством Л.М. Барковского защищено 13 кандидатских диссертаций. Он был консультантом при подготовке 2 докторских диссертаций. Среди его учеников можно выделить докторов наук Г.Н. Борздова и А.В. Лавриненко, кандидатов наук В.В. Жилко, А.Н. Борздова, А.Н. Фурса, Ф.Т.Н. Ханг, Т.А. Алексееву, А.В. Новицкого.