Леонид Борщевский родился 4 марта 1958 года в городе Полоцк Витебской области. В 1975 г. поступил в Минский педагогический институт иностранных языков на специальность немецкого и английского языка. Работал преподавателем немецкого и английского языков в родной школе №10 Полоцка, потом в Новополоцком политехническом институте.
В 1987 г. – закончил аспирантуру при Минском пединституте иностранных языков, получил степень кандидата филологических наук.
В 1985 году Лявон Барщевский вместе с Сергеем Шупой создал в Минске клуб молодых переводчиков “Вавилон”.
Переводил Эсхила, Петрарку, Кафку, Брехта, Ленау, Бёлля.
Переводит с древнегреческого, латинского, немецкого, английского, французского, польского, испанского.
Согласно собственному признанию, поэзию переводил более чем с тридцати языков, а прозу — более чем с десяти. Бегло разговаривает на семи языках.
Барщевский – редактор серии “Biblioteka bialoruska”, которая начала выходить в 2006 году во Вроцлаве в Коллегиуме Восточной Европы. В серии уже увидели мир книги: “Когда рукаются души” Василия Быкова и Рыгора Бородулина, двуязычная книга Андрея Хадановича “Праздник Нового года", книга Владимира Орлова “Любовник Ее Величества”.
Лявон Барщевский - основатель и заместитель директора Белорусского гуманитарного лицея, который был закрыт властями в 2003.
В 1990-1995 гг. Барщевский был депутатом Верховного Совета XII созыва, входил в состав парламентской оппозиции БНФ. Был членом комиссии в вопросах образования, культуры и сохранения исторического наследия, а также членом комиссии в международных делах и внешнеэкономической деятельности.
С 1995 г. – заместитель председателя Белорусского народного фронта “Возрождение”, в 1996-1999 гг. – исполнял обязанности председателя партии после эмиграции Зенона Позняка. После раскола партии в 1999 г. стал советником председателя Партии БНФ Винцука Вечерки.
На 10 съезде Партии БНФ в декабре 2007 г. Лявон Барщевский был выбран председателем Партии.