Леонид Петрович Телятников родился в посёлке Введенка Мендыгаринского района Кустанайской области (ныне Казахстан). Русский. По окончании школы работал электриком на авторемонтном заводе. В 1968 году поступил в пожарно-техническое училище в Свердловске, впоследствии закончил Высшую инженерную пожарно-техническую школу в Москве. Несколько лет работал в противопожарной службе Кустаная, а с 1982 года — на Киевщине. В 1983 году был назначен начальником военизированной пожарной части № 2 по охране Чернобыльской АЭС. Специалист первого класса.
Майор внутренней службы Л. П. Телятников вместе с другими пожарными (В. Игнатенко, В. Кибенком, В. Правиком и др.) принимал участие в тушении пожара в первые часы после аварии на Чернобыльской АЭС 26 апреля 1986 года. Во время тушения получил высокую дозу облучения.
С осени 1986 года жил и работал в Киеве. После прохождения лечения продолжил службу во Внутренних войсках МВД СССР, после распада Советского Союза — во Внутренних войсках Украины. В 1995 году в звании генерал-майора внутренней службы ушёл на пенсию. С 1998 года возглавлял Добровольное пожарное общество Киева.
Умер от рака 2 декабря 2004 года, похоронен на Байковом кладбище в Киеве.
По словам Леонида Шаврея, одного из подчиненных, которыми Телятников командовал непосредственно во время первых работ по устранению пожара, тот был в нетрезвом состоянии на момент аварии и когда отдавал приказ оставаться на крыше турбинного зала АЭС. Тем самым, пожарные, находящиеся под его командованием, провели несколько часов рядом с обломками высокорадиоактивного графита.