Будущий гроссмейстер родился 12 ноября 1934 г. в Каменец-Подольске, на Украине. Его отец рано умер. Тяжёлые военные годы он провёл в эвакуации в Узбекистане, а после окончания войны приехал с матерью во Львов.
Львов со времён СССР был известен как один из крупнейших шахматных центров страны по количеству и рангу гроссмейстеров и шахматных турниров союзного и республиканского значения. Здесь существовала одна из сильнейших и успешных шахматных школ — школа заслуженного тренера СССР Виктора Эммануиловича Карта, подготовлено 12 международных гроссмейстеров и мастеров. А первым из когорты львовских гроссмейстеров по праву следует считать заслуженного мастера спорта (1965), тренера и шахматного журналиста Леонида Захаровича Штейна.
Пятиклассником в 13 лет Лёня Штейн пришёл в шахматную секцию Львовского дворца пионеров, а уже через 2 года в 15 лет достиг силы 1-го разряда и был включён в сборную команду города. Однако, по воспоминаниям гроссмейстера Виктора Корчного, поскольку детство Леонида Штейна прошло в бедной семье и его воспитывала одна мама, он недолго посещал шахматную секцию дворца пионеров, рано пошёл работать и не смог пройти большую, настоящую шахматную школу, как его молодые коллеги.
В 1953 г. Леонид стал кандидатом в мастера спорта, выиграв полуфинал чемпионата Украины. Во время четырёхлетней службы в армии он в 1955 г. стал чемпионом Вооружённых сил СССР. В том же 1955 Штейн победил во Всесоюзном турнире кандидатов в мастера.
После демобилизации из рядов Советской Армии он было собирался оставить профессиональные шахматы. Однако в 1959 году, после отказа одного из участников предстоящего чемпионата Украины, Леонид Штейн, тогда ещё только кандидат в мастера, получил приглашение на этот турнир. На этом чемпионате он сумел занять 3-е место и перевыполнил норму мастера спорта по шахматам. В 1960 Леонид Штейн впервые становится чемпионом Украины. В дальнейшем он ещё дважды — в 1962 и в 1969 годах — выигрывал эти соревнования, став троекратным чемпионом УССР..
В 1960 году Штейн дебютировал в международных соревнованиях — играя на первой доске в студенческом чемпионате в Хельсинки, он показал наилучший результат среди лидеров команд-участников. Это было началом впечатляющей серии побед Штейна в турнирах разных рангов.
В 1961 Штейн побеждает на международном турнире в Бухарест. В том же 1961 году делит 3-4 места в чемпионате СССР и получает право играть в межзональном турнире (1962 год) в Стокгольме.
В межзональном турнире Штейн стартовал неудачно. После 7-й партии у него было лишь 2 очка. Казалось, что шансов выполнить норму международного гроссмейстера (13 очков!) нет. Однако Штейн поразил всех и в 14 последующих партиях выиграл 9 партий и 5 завершил вничью. Перед последним туром он занимал 4-е место, вслед за Робертом Фишером, Ефимом Геллером и Тиграном Петросяном. Однако в заключительном туре Штейн проиграл Фридрику Олафссону. Разделил в итоге 6-8 место с Палом Бенко и Светозаром Глигоричем. За выходящее 6-е место был проведен дополнительный матч-турнир между Штейном, Бенко и Глигоричем. Штейн уже заведомо не попадал в претенденты из-за правила ФИДЕ, ограничивающего число участников в соревнованиях претендентов от одной страны. Именно поэтому, хотя в матч-турнире Штейн занял первое место, но в соревнования претендентов попал занявший второе место Бенко. Вместе с тем победа в этом дополнительном матч-турнире автоматически принесла Штейну звание международного гроссмейстера (после выполнения нормы на межзональном присвоение этого звания пришлось бы немного подождать).
Тогда же состоялось и знакомство Штейна с Робертом Фишером. В свободное время Фишер часто играл блиц с советскими участниками. Предложив как-то сыграть блиц Ефиму Геллеру, он получил отказ. Геллер был не в духе после проигрыша турнирному аутсайдеру, колумбийскому мастеру Куэллару, и посоветовал Фишеру сыграть со Штейном. «Предлагаю небольшую ставку — по десять крон, — сказал Фишер. — А чтоб уравнять наши шансы, могу предоставить вам, мистер Штейн, фору: если вы наберёте хотя бы два очка из пяти партий, ставка ваша», — самоуверенно сказал Фишер. Штейн выиграл первые же 2 партии.
Через несколько лет, в 1966 году на закрытии Всемирной шахматной олимпиады в Гаване Роберт Фишер предложил Штейну сыграть официальный матч до 10 побед. Штейн согласился, в поддержку матча выступил премьер-министр Кубы Фидель Кастро. Однако из-за разных причин (по словам Штейна, его не устраивало предлагавшееся Фишером время) матч так и не состоялся.
Следует отметить, что в серьёзных турнирных встречах перевес остался за Фишером — одна победа (включённая им в сборник «Мои 60 памятных партий») и одна ничья.
В июне 1964 года на межзональном турнире в Амстердаме Штейн занял 5-е место, всего на пол-очка отстав от Бориса Спасского, Бента Ларсена, Василия Смыслова, Михаила Таля. Однако из-за действовавшего тогда правила ФИДЕ, ограничивающего число участников в соревнованиях претендентов от одной страны, Штейн (вместе с другим советским участником — Давидом Бронштейном) вновь был вынужден уступить место в соревнованиях претендентов Лайошу Портишу и Бориславу Ивкову. Интересно, что ни тот, ни другой дальше четвертьфинального матча не прошли (проиграв соответственно Талю и Ларсену), а для Ивкова это было вообще единственное выступление в соревнованиях претендентов.
В 1967 г. на межзональном турнире в Сусе (Тунис) Леонид Штейн делит 6-8 места с Властимилом Гортом и Самуэлем Решевским. «Процентная норма» на число участников от одной страны тогда уже не действовала — предстоял дополнительный матч-турнир. Но его выиграл Решевский, Штейн занял 2 место.
После Суса Штейн не играл в межзональных турнирах. По итогам чемпионата СССР 1969 года — отборочного к межзональному в Пальма-де-Мальорке — его на пол-очка опередил Марк Тайманов, выигравший в последнем туре знаменитую партию чёрными у Анатолия Лутикова. А в 1973 году сыграть в межзональном турнире в Петрополисе (Бразилия) Штейну помешала смерть.
Успехи Леонида Штейна в турнирах 60-х — начала 70-х годов были без преувеличения экстраординарными. Трижды (1963, 1965, 1966) Штейн становился чемпионом СССР. Он побеждал в таких крупных международных турнирах, как Сараево (1967), Кечкемет (1968), Таллин (1969), Пярну (1971), Загреб (1972), Лас-Пальмас (1973). Особенно выделяются его победы на турнирах в Москве в 1967 (единолично) и в 1971 (разделил 1-2 место с Анатолием Карповым), в числе участников которых была практически вся элита советских шахмат.
Как бы отдавая прежние долги, ФИДЕ в 1972 году, включило Леонида Штейна в число претендентов за звание чемпиона мира шахматистов. Штейн должен был играть в межзональном турнире 1973 г. в Бразилии, но его жизнь оборвалась раньше.
Леонид Штейн ушёл из жизни, когда ему не исполнилось ещё и сорока лет.
Корчной вспоминал:
С болью воспринял это сообщение Роберт Фишер.
Виктор Корчной также вспоминал и о личных качествах Штейна:
Данью уважения львовян к своему талантливому земляку являются шахматные турниры мемориала Штейна, которые начали проводиться во Львове с 1977 года. Интересно отметить, что первый турнир проходил в клубе как раз напротив дома, в котором жил Леонид Штейн. Последний международный шахматный турнир памяти гроссмейстера Штейна состоялся в мае 2000 года, где за доской в турнире XVII категории встретились Василий Иванчук (Украина), Михаил Красенков (Польша), Александр Белявский (Словения), Борис Гельфанд (Израиль), Виктор Корчной (Швейцария) и Олег Романишин (Украина). Главным судьёй турнира был Виктор Карт. Победителем стал Василий Иванчук, набравший 7 очков из 10. В проходившем параллельно с основным побочном турнире играли представители Украины, России, Венгрии, Турции и других стран.
В 2002 году эти соревнования не состоялись из-за нехватки средств.
Примечательно, что на программке турнира было приведено высказывание далеко не щедрого на комплименты Анатолия Карпова о Леониде Штейне из издания «Шахматы. Энциклопедический словарь»: «Талант у Штейна был фантастический… Он обладал тонким чутьём в позициях с обоюдными шансами, острым тактическим зрением… Его вклад в сокровищницу шахмат весьма значителен, своеобразен, ярок и по-своему неповторим».
Леонид Штейн любил сложные, неоднозначные, динамичные шахматные позиции и был здесь признанным блестящим мастером. Неспроста сицилианская и староиндийская защиты были его любимыми дебютами. Он был бесстрашным, уверенным в своих силах игроком, играл, по словам Виктора Корчного, «с открытым забралом».
Вспоминая о своих встречах со Штейном, Корчной рассказывал:
— Со Штейном мы не так часто встречались. Кажется, я у него выиграл дважды, и он у меня тоже два раза. В обоих случаях просто очень классно! Леонид в одной партии победил меня белыми и в одной чёрными. Ему нравилась партия, выигранная чёрными фигурами. А я считаю потрясающей партию, в которой он играл белыми. Так сейчас не атакуют! Он сначала пожертвовал одну пешку, потом вторую. Я был тогда в полном порядке, защищался очень хорошо, но львовский гроссмейстер играл великолепно! Эта была партия из зонального турнира 1964 года в Москве. Сейчас атакуют, тысячу раз перестраховавшись, с оглядкой на тылы.
По мнению Гарри Каспарова, Штейн был единственным, кто мог в 60-е годы составить реальную конкуренцию Борису Спасскому в матчах претендентов.