Леонтий Эйлер родился в семье коллежского советника Леонтия Карловича Эйлера. В возрасте 11 лет, согласно прошения своего отца зачислен кандидатом для поступления в Морской кадетский корпус.
3 апреля 1835 года Леонтий зачислен в Морской кадетский корпус, который закончил в 1839 году с производством в чин гардемарина. Начал свою действительную службу на знаменитом фрегате «Паллада».
В 1841 году Эйлер был произведен в чин мичмана. В 1842—1844 годах на бриге «Усердие» он участвовал в промерах в финляндских шхерах. В 1845 году на бриге «Парус» крейсировал в Финском заливе. В 1846 году Эйлер произведен в чин лейтенанта. В том же году на пароходофрегате «Храбрый» он совершил плавание в Голландию. В 1848 году на корабле «Вола» Эйлер крейсировал в Балтийском море.
В 1854 году на корабле «Лефорт» Леонтий Эйлер участвовал в обороне Кронштадта. В следующем году Эйлер командовал винтовой лодкой «Дождь» на рейде Кронштадта.
В 1857 году Эйлер был назначен наблюдающим за строительством в Англии паровой яхты «Стрельна», а затем был назначен ее командиром. В том же году он был награжден орденом Св. Станислава 2-й степени. В следующем году Леонтий Леонтьевич был произведен в чин капитан-лейтенанта и награжден бриллиантовым перстнем.
В 1858 году Эйлер был назначен командиром императорской паровой яхты «Александрия», которой командовал 26 лет. 1 января 1864 года он был произведен в чин капитана 2-го ранга. В 1868 году Эйлер был произведен в чин капитана 1-го ранга. В 1878 году Леонтий Леонтьевич был произведен в чин контр-адмирала. В 1885 году Эйлер был произведен в чин вице-адмирала и уволен от службы по достижении предельного возраста.