Родился 7 января 1907 года в грузинском городе Озургети в семье служащего. Брат Героя Советского Союза, генерал-полковника Константина Николаевича Леселидзе. Грузин. Член ВКП(б) с 1938 года. Окончил 6 классов гимназии.
В Красной Армии с 1925 года. В 1929 году окончил Закавказскую военно-артиллерийскую школу, служил в Ленинградском военном округе. Участник советско-финской войны 1939—1940 гг.
Участник Великой Отечественной войны с 1941 года, начало которой застало В. Н. Леселидзе командиром артиллерийского дивизиона.
Командир 619-го миномётного полка (7-я армия, Карельский фронт) подполковник Виктор Леселидзе 21 июня 1944 года миномётным огнём обеспечил форсирование реки Свирь у города Лодейное Поле Ленинградской области 763-м стрелковым полком.
Затем миномётчики полка подполковника Леселидзе успешно форсировали Свирь, и 22—27 июня 1944 года участвовали в прорыве оборонительных полос противника, своим огнём прокладывая путь пехоте вдоль восточного берега Ладожского озера на север и обеспечивая форсирование ею рек Олонка и Тулокса. На берегу Тулоксы противник, подтянув резервы, перешёл в контратаку. На одном участке ему удалось потеснить советские подразделения. Фашистские автоматчики вплотную подобрались к наблюдательному пункту 619-го полка, возникла непосредственная угроза штабу полка.
28 июня 1944 года командир полка В. Н. Леселидзе собрал всех, кто находился на наблюдательном пункте в районе села Видлица, и во главе небольшой группы офицеров и связных вступил с вторгшимся неприятелем в рукопашную схватку. Личный пример отваги воодушевил наших воинов, они отразили вторжение численно превосходящего вражеского подразделения: оно было отброшено от наблюдательного пункта и рассеяно. В этой схватке мужественный офицер пал, сраженный пулей вражеского снайпера.
Подполковника Виктора Николаевича Леселидзе похоронили в братской могиле в селе Ильинское Олонецкого района Карелии.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 июля 1944 года за умелое командование полком, образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм подполковнику Виктору Николаевичу Леселидзе посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Награждён орденом Ленина, медалью.
На могиле Героя установлена надгробная плита. Ильинская средняя школа Олонецкого района Карелии на протяжении многих лет сохраняла тесную связь с семьёй и родными Героя, проживающими в Грузии. Из четырёх братьев, выращенных отцом Николаем Леселидзе, трое не вернулись с фронтов Великой Отечественной войны: генерал-полковник Константин Леселидзе умер в период боёв за освобождение Украины, при штурме Керчи погиб младший Леселидзе — Валериан. Прах Виктора Леселидзе покоится в Карелии.
В 1944 году в Абхазской АССР (на тот момент — в составе Грузинской ССР) город Гечрипш Гагрского района был переименован в Леселидзе. В 1992 году, после начала боевых действий в Абхазии городу было возвращено прежнее название.
Реликвии боевой славы братьев Леселидзе хранятся в краеведческом музее города Озургети.