Родился 4 декабря 1931 года в Москве в семье Павла Николаевича (1905—1965) и Анастасии Яковлевны (1906—2004) Барашковых. Во время учёбы в Калужском педагогическом институте занимался в драматическом кружке под руководством Зиновия Корогодского. Играл в футбол, выступал за ФК «Локомотив» (Калуга).
После назначения Корогодского главным режиссёром Калининградского областного драматического театра, год выступал на профессиональной сцене.
В 1956 поступил в ГИТИС (курс А. А. Гончарова).
По окончании института был приглашён в Московский драматический театр им. А. С. Пушкина, главным режиссёром которого был Борис Равенских. В спектакле-концерте, поставленном Равенских, Барашков исполнил песни «А у нас во дворе» Аркадия Островского на стихи Льва Ошанина и «Хотят ли русские войны» Эдуарда Колмановского на стихи Евгения Евтушенко.
В середине 1960-х оставил театр и стал солистом ансамбля Игоря Гранова «Голубые гитары», с 1966 по 1976 год работал в Москонцерте с ансамблем Е. А. Савари и вскоре начал сольные выступления.
Визитной карточкой эстрадной карьеры артиста стала песня Александры Пахмутовой на стихи Николая Добронравова и Сергея Гребенникова «Главное, ребята, сердцем не стареть», первым исполнителем которой был именно Лев Барашков.
Голос Барашкова — небольшой баритон приятного сочного тембра. Однако вокалу Барашков профессионально не обучался, пел без кантилены, диапазон голоса небольшой.
В его репертуар вошла песня из кинофильма «Белое солнце пустыни», произведения Владимира Высоцкого, Юрия Визбора и других советских бардов.
В 1985 году Лев Барашков подготовил концертную программу «Наполним музыкой сердца» по произведениям Юрия Визбора.
В конце 1990-х создал несколько музыкальных программ, составленных из песен прошлых лет.
В период с 1959 по 1974 годы сыграл пять ролей в кино, записал песни к кинофильмам «Тишина» и «Неуловимые мстители».
Умер 24 февраля 2011 года. Похоронен на Ваганьковском кладбище.