Окончил 4 класса Виленской гимназии. В 1889—1890 годах работал в аптеке, потом занимался журналистикой.
Печатался в «Русской мысли», «России», «Биржевых ведомостях», «Новостях», «Руси», «Новой жизни», «Сыне отечества», «Голосе народа», «Нашем дне», «Нашей жизни», «Товарище», «Столичной почте», «Речи», «Русском слове», «Русских ведомостях», «Киевской мысли». Редактор газеты «Северная пчела». Был председателем Комитета журналистов при Государственном совете России. Брал интервью у общественных деятелей, министров, был близок к правительственным кругам.
В 1916 году Штюрмер предложил начальнику Петроградского охранного отделения К.И. Глобачеву выслать Клячко из Петрограда, заявив, что подозревает Клячко в военном шпионстве в пользу Германии. У Клячко был проведен обыск, но так как ничего не было обнаружено, дело было передано в военную контрразведку, которая ненадолго арестовала Клячко. Однако никаких определенных доказательств против Клячко не было обнаружено и он был вскоре освобожден.
Владелец, учредитель и редактор издательства «Радуга» в Петрограде-Ленинграде (1922—1930). Издательство «Радуга» размещалось в Большом Гостином дворе. На Стремянной улице, дом 14, в квартире Л. М. Клячко была расположена дирекция издательства.