Л. Н. Оборин родился 29 августа (11 сентября) 1907 года в Москве. В 1921 году окончил Гнесинское училище по классу фортепиано Е. Ф. Гнесиной и поступил в МГК имени П. И. Чайковского к К. Н. Игумнову, параллельно обучался композиции у Н. Я. Мясковского, Г. Э. Конюса и Г. Л. Катуара.
В 1927 году, обучаясь в аспирантуре у Игумнова, Оборин получил мировую известность, победив на Первом международном конкурсе пианистов имени Ф. Шопена в Варшаве. Уже тогда критики отмечали зрелость и академичность его исполнения.
В следующем году Оборин был приглашён преподавателем в МГК имени П. И. Чайковского, с 1935 года профессор. Совмещал преподавание с активной концертной деятельностью.
В годы войны продолжал выступать на Всесоюзном радио, находился в составе фронтовых концертных бригад. С 1943 года играл в ансамбле со скрипачом Д. Ф. Ойстрахом и виолончелистом С. Н. Кнушевицким. Этот ансамбль просуществовал до кончины Кнушевицкого в 1963 году.
Оборин прославился как исполнитель русской фортепианной музыки, прежде всего — сочинений П. И. Чайковского, а также как камерный музыкант — его запись всех скрипичных сонат Бетховена с Давидом Ойстрахом до сих пор считается одним из лучших исполнений этого цикла. В репертуар пианиста входили также произведения С. В. Рахманинова, Н. К. Метнера, С. С. Прокофьева, Д. Д. Шостаковича, а также посвящённый ему Первый фортепианный концерт А. И. Хачатуряна.
За годы преподавания в консерватории Оборин воспитал более 100 учеников, среди которых — В. Д. Ашкенази, Г. Н. Рождественский, В. В. Селивохин, Б. А. Чайковский, Т. А. Алиханов и многие другие.
Автор нескольких оригинальных сочинений и статей об исполнительском искусстве.
Л. Н. Оборин умер 5 января 1974 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 2).