Родился в семье дворянина майора Николая Виссарионовича Андроникова (1836 — ок. 1882). Отец известного литературоведа Ираклия Андроникова.
Окончив гимназию в Тифлисе, продолжил обучение на юридическом факультете Петербургского университета. Углублял образование на философских факультетах Гейдельбергского и Страсбургского университетов Германии. В конце 1897 г. он возвратился в Россию и продолжил обучение в университете, окончив его в 1899 г.
C 18 октября 1899 года — помощник присяжного поверенного, с 7 января 1906 года — присяжный поверенный в Петербурге. C 1905 года участвовал более чем в 150 политических процессах. Помощником адвоката у Л.Н. был В.Н. Станкевич.
Симпатизировал Февральской революции и принял Октябрьскую. После 1917 года занимался преподаванием в различных учебных заведениях, а с 1921 года — на организованном им юридическом факультете Тбилисского университета, где трудился в должности профессора до своей кончины.В Туле, с 1919 по 1920 г. читал лекции по философии в Высшем педагогическом институте.В 1920 г. переезжает с семьёй в Москву, где читает лекции по судебному красноречию в Государственном институте слова и трудится юрисконсультом в системе ВСНХ. Осенью 1921 г. навсегда переезжает в Грузию и самоутверждается там.
Похоронен в Дидубе — Пантеоне общественных деятелей Грузии.