Родилась в семье учёных (отец — математик, мать — биолог). Первоначально занималась на фортепиано, но после перелома руки в шестилетнем возрасте стала учиться пению, поступив в детский хор Филармонического оркестра Брно. В дальнейшем Кожена училась в Консерватории Брно и в Высшей школе музыки в Братиславе (окончила в 1995 г.). В том же году стала лауреатом Зальцбургского фестиваля. В 1996—1997 гг. солистка Венской Фольксопер.
В 2003 Кожена была удостоена звания Кавалера французского Ордена литературы и искусства. Она замужем за дирижёром Саймоном Рэттлом, от которого родила сыновей Йонаша (2005) и Милоша (2008).