По поводу даты и места рождения Макса Авелевича Кюсса существуют 2 версии. По первой он родился в 1877 году в Шавельске (ныне Шяуляй, Литва), по второй в 1874 году в Одессе. Родился в еврейской семье.
Закончил Одесское музыкальное училище, служил во 2-м Восточно-Сибирском полку капельмейстером. В составе полка участвовал в русско-японской войне. Во Владивостоке сочинил знаменитый вальс «Амурские волны».
Во время Первой мировой войны Кюсс служил капельмейстером в 5-м казачьем полку. После революции служил капельмейстером в полковых оркестрах Красной Армии. Служил в Симферополе, Одессе, Харькове и Москве. В 1927 году ушёл в отставку с должности командира музыкального взвода Кремлёвской роты почётного караула.
В Одессе он дирижировал в клубах и школах, преподавал в военно-музыкальной школе по классу кларнета. В 1937 году занимался с детьми-сиротами набранными в детских домах для военно-музыкального училища.
Во время Великой Отечественной войны остался в Одессе. С захватом города фашистскими оккупантами Кюсс, как десятки тысяч одесских евреев, был убит в Одесском гетто. Последний раз его видели живым в конце зимы 1942 года.
Всего Макс Авелевич Кюсс за свою жизнь создал около 300 композиций. Однако большую популярность имеет только один его вальс — «Амурские волны». Эта мелодия — лёгкая, певучая, проникнутая светлой грустью — надолго пережила самого маэстро. Существуют многочисленные аранжировки и обработки этой музыки — для духового, струнного оркестра, для баянов, рояля, голоса, хора и т. д. «Амурские волны» популярны в Японии.