Родился 12 декабря 1915 года в Варшаве, седьмым ребёнком в семье коммерсанта, старосты Варшавской синагоги Шахно-Бейнуша Фишмана (1870 — 1 июля 1936) и Эстер Фишман (урождённая Блайберг, 1880 — начало 1940-х). Учился в Варшавском музыкальном училище имени Карловича, а затем в Варшавской консерватории у Юзефа Турчинского (фортепиано) и Антония Марека (композиция).
Дебютировал в Польше как концертный пианист в середине 1930-х годов. Часто выступал в Доме сирот Януша Корчака, в летнее время выезжал с Домом сирот в сельскую местность как воспитатель. Сотрудничал с театром Иды Каминской, Лелей Фольман, Вольфом Мессингом.
С началом Второй мировой войны был призван в армию и участвовал в антифашистском сопротивлении. Спасаясь от преследования гитлеровцев, в ноябре 1939 года переплыл, вместе с племянником Павлом Гриншпаном (Pawel Gruenspan 1920—2000), реку Буг и оказался на территории, оккупированной Советским Союзом согласно пакту Молотова-Риббентропа.
С 1940 по 1944 гг. находился в «трудовой армии», фактически в ГУЛАГе. В начале 1944 года участвовал в концерте, где его случайно услышала Клавдия Андреевна Кривошеина (1908 — 1967) — жена Председателя СНК РСФСР Алексея Николаевича Косыгина, которая поспособствовала направлению Фишмана для продолжения учёбы в Саратовскую консерваторию. Вначале он учился у профессора Е.М.Зингера, а затем у профессора Г.Н.Петрова в Минской консерватории. (До 1944 года в Саратовской консерватории работали эвакуированные педагоги и учились студенты из Минской, Московской и частично Ленинградской консерваторий.) По композиции занимался у А.В.Богатырева.
Во время войны почти вся семья и многочисленные родственники погибли в Варшавском гетто. Многие из них участвовали в восстании 1943 года. Спаслась только сестра с мужем и детьми, проживающая в Бельгии, и муж другой сестры (схваченной гестапо) с двумя сыновьями из трех, также в Бельгии.
По окончании войны М. Фишман был награжден медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.».
В 1945 году женится на Лидии Аксеновой.
После окончания Минской консерватории преподает в Музыкальном училище Гомеля, затем его с женой направляют в Молдавию. С 1952 г. М.Фишман работает в Кишинёвской консерватории (позже переименованной в Кишинёвский институт искусств имени Г. Музическу) концертмейстером, а затем старшим преподавателем кафедры общего фортепиано. В разные годы преподаёт фортепиано также в Каларашском педучилище и в музыкальной школе села Карпинены.
Параллельно с преподавательской работой М.Фишман активно занимается композиторской деятельностью.
В творческом портфеле остались десятки самых разных жанров: 4 концерта для фортепиано с оркестром, соната для кларнета и фортепиано, соната для скрипки и фортепиано, трио, пьесы для фортепиано и различных инструментов, симфонические и хоровые произведения.
Сочинения Макса Фишмана исполняли, - оркестр Молдавской филармонии под управлением Народного артиста СССР Тимофея Гуртового, хоровая капелла «Дойна» под руководством Народной артистки СССР Вероники Гарштя, молдавский эстрадно-джазовый оркестр «Букурия» под управлением Народного артиста Молдавии Шико Аранова.
Макс Фишман скончался 24 сентября 1985 года в Кишиневе. Похоронен на кишинёвском кладбище Святого Лазаря (бывшее кладбище "Дойна").
Жена Макса Фишмана — хоровой дирижёр, профессор Лидия Валерьяновна Аксёнова. Их сыновья — актёр Бэно Аксёнов и пианист Артур Аксёнов.
В 2006 году выпущен диск с записями музыки М. Фишмана (из фондов радио), куда вошли:
Концертная пьеса для скрипки и фортепиано. Исполняют Лилия Няга (скрипка), Гита Страхилевич (фортепиано) запись 1964 г.
Юмореска для скрипки и фортепиано. Исполняют Лилия Няга (скрипка), Гита Страхилевич(фортепиано) запись 1964 г.
Соната для скрипки и фортепиано. Исполняют Лилия Няга (скрипка), Гита Страхилевич (фортепиано)
Соната для кларнета и фортепиано. Исполняют Евгений Вербецкий (кларнет), Гита Страхилевич (фортепиано)
Скерцино для кларнета и фортепиано. Исполняют Евгений Вербецкий (кларнет), Гита Страхилевич (фортепиано)
Вариации для фортепиано. Исполняет Людмила Ваверко (фортепиано), запись 1956 года
Каприччио для фортепиано. Исполняет Гита Страхилевич (фортепиано), запись 1964 года.
Этюд соль мажор для фортепиано. Исполняет Гита Страхилевич (фортепиано), запись 1964 года
Этюд ре минор для фортепиано. Исполняет Гита Страхилевич (фортепиано), запись 1964 года.
Сонатина для фортепиано. Исполняет Гита Страхилевич (фортепиано), запись 1963 года
Трио на молдавские темы для фортепиано, скрипки и виолончели. Исполняют Людмила Ваверко (фортепиано), Оскар Дайн (скрипка), Арсений Дубровский (виолончель), запись 1958 года
Хор «Осень» («Что ты лес качаешься») на слова М.Эминеску.
Хор «Жатва» на слова В.Александри. Исполняет Хор консерватории, дирижер Л.Аксенова, запись 23.06.1964
Пьеса для гобоя и оркестра. Исполняют Дмитрий Ротарь (гобой), Оркестр радио и телевидения МССР, дирижер Александр Васечкин, запись 1961 года.
Общее время – 78:19.04