Жена: актриса того же театра Антонина Гунченко.
Максим Греков родился 11 декабря 1922 года.
В московской школе его одноклассником был будущий кинодраматург В. С. Фрид, вспоминавший о нём в мемуарной книге «58 с половиной или записки лагерного придурка».
Первая роль — Зяблик в пьесе А. Н. Арбузова «Город на заре», её премьера состоялась 5 февраля 1941 года.
С началом войны стал добровольцем отдельной мотострелковой бригады особого назначения, сапёром-подрывником. Служил в Калининской области, в Туле, потом в Сталинграде… В марте 1943-го его забрасывают во вражеский тыл — в партизанский отряд, где он стал партизаном отряда «Победители» под командованием Дмитрия Медведева. Его имя упоминается в различных воспоминаниях о деятельности партизанского отряда (рассказы серии «Военная литература», книга Д. М. Медведева «Это было под Ровно»).
После окончания войны вернулся к актёрской профессии, стал актёром театра им. Вахтангова, проработав там до конца жизни: 1948—1965 гг.
Современники вспоминали: о Максиме Грекове писали Елена Боннэр и Александр Свободин в очерке «Партизан Максим Греков»:
Похоронен на Введенском кладбище.