Родился в 1975 г. в Москве, в семье дирижера и композитора И. А. Лаврентьева (1921—1997). Получил среднее музыкальное образование. Окончил Литературный институт им. А.М. Горького в 2001 г. Работал в «Литературной газете», откуда в 2008 г. перешел на должность заместителя главного редактора в журнал «Литературная учеба», который возглавил в 2010 г.
Стихи опубликованы в российской и зарубежной, в том числе переводной литературной периодике («Литературная газета», «Литературная Россия», «Независимая газета», «Дружба народов», «Октябрь» и др.), в ежегодном альманахе «День поэзии», в антологии «Русская поэзия. XXI век» и др.
В качестве критика, рецензента, эссеиста и публициста выступает на страницах «Независимой газеты», еженедельника «Литературная Россия», журнала «Литературная учеба» и других изданий. Переводит восточноевропейскую поэзию. В течение ряда лет выступает с исследованиями предсмертного творчества русских поэтов XIX—XX вв. и статьями о литературе малых народов российского Севера. Работы Лаврентьева изданы также на французском, болгарском и японском языках.
Немного сентиментальный путеводитель — М., 2008.
Не говоря тут специально о его рифмах-ритмах (и других необщих выраженьях), скажу, пожалуй, что он — отважный и честный, как я вижу, стихотворец. И подкупает этим. (П. Крючков. «Новый Мир», 2007)
Главное переживание поэта — уют и одновременно убогость малого пространства жизни, ограниченной обывательскими привязанностями: родной город, его улицы, сады и парки; друзья и подруги; осенние поездки в Крым… Границы этого пространства напряжены, и это придает стихам скрытый драматизм: поэтический дар требует более широкого поля реализации, в «малой истории» ему явно тесно. Как раздвинуть свои границы — вот в чем вопрос, ведь масштаб личности — второе, кроме таланта, необходимое условие становления поэта. (А. Кузнецова. «Знамя», 2007)
Поэтическая стратегия Лаврентьева — в сочетании классических форм, плотности философского содержания и новаторстве ритмов и концевых созвучий. Рифма должна быть оригинальна, содержательные значения — не однозначны. («НГ-Ex libris», 2008)
Метафизический план неизбежно появляется на стыке прошлого и современности; свойства ума и склад личности позволяют или не позволяют заметить появление нового слоя в изображении. Максиму Лаврентьеву свойственно замечать и, более того, запечатлевать его в текстах. Причем, максимально адекватно явлению: мы как бы видим сквозь реальность акварельно вписанный ее более тонкий план. (Е. Карева. «Дети Ра», 2009)
…в творчестве этого автора присутствует чёткая граница между предшествующим периодом нашей истории (не политическим, а эстетико-духовным), в который прошло его детство и по которому он испытывает жгучую и нескрываемую ностальгию, и современностью, где он наблюдает яростную пропаганду бездуховности, оторванность от культуры, причём не только нашей — отечественной или европейской в целом, — но и вообще какой бы то ни было, и, что страшнее — постоянное добивание остатков того, что по инерции всё ещё называют у нас «культурой». (А. Латышева. «Литературная Россия», 2010)