М. Н. Алексеев родился 23 мая (5 июня) 1911 года в деревне Русское (ныне село Куйбышевского района Ростовской области) в семье крестьян. По национальности русский. По окончании неполной средней школы работал токарем.
В Красной Армии с 1933 года. В 1938 году закончил Харьковское военное авиационное училище. Принимал участие в боях советско-финской войны.
С первых дней Великой Отечественной войны на фронте. В августе 1941 года осуществлял бомбардировки Берлина. В члены ВКП(б)/КПСС вступил в 1942 году. Всего к июню 1943 года Алексеевым совершено 209 боевых вылетов на бомбардировку объектов в глубоком тылу противника.
В 1951 году прошёл обучение в Высшей военной авиационной школе штурманов. С 1955 года подполковник Алексеев М. Н. в запасе, а затем в отставке.
Проживал Герой в городе Фрунзе (ныне Бишкек). Умер 25 октября 1986 года.