Родился в городе Полоцке (теперь Республика Беларусь), по другим данным, в городе Ковно (теперь Каунас, Литовская Республика)в семье служащего. Еврей. Образование среднее.
В РККА с 1926 года. Окончил военное пехотное училище. Член ВКП(б) с 1932 года. Участник советско-финляндской войны 1939-40 годов.
В конце января 1940 года батальон под командованием капитана Максима Рапейко занял важную высоту в районе железнодорожной станции «Юханнес» (ныне Советский) и нанёс противнику значительный урон в живой силе и боевой технике. Группа бойцов во главе с комбатом Рапейко М.О. выбила врага со станции.
В бою за остров Ласисаари (ныне остров Стеклянный, расположенный рядом с островом Туркин-саари, ныне - Овчинный) 25 февраля 1940 года отважный офицер-разведчик пал смертью храбрых. Похоронен на месте боёв.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 марта 1940 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с финской белогвардейщиной и проявленные при этом отвагу и геройство» капитану Рапейко Максиму Осиповичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Награждён орденом Ленина.