Максим Соловьёв начал свою профессиональную карьеру в 1997 году в составе родного московского ЦСКА. В 1999 году Максим перешёл в «Крылья Советов», а перед началом следующего сезона стал игроком новокузнецкого «Металлурга». В 2001 году Соловьёв подписал контракт с подмосковным «Витязем», где в течение трёх лет он был одним из самых результативных защитников. В 2004 году Максим перешёл в ХК МВД, в котором выступал вплоть до расформирования клуба в 2010 году.
Перед началом сезона 2010/11 Соловьёв подписал контракт с московским «Динамо». Проведя в составе москвичей 46 игр, в которых он набрал 25 (9+16) очков, Максим принял решение продлить своё соглашение с клубом.
В составе сборной России Максим Соловьёв принимал участие в чемпионате Европы среди юниоров 1997 года, на котором провёл 6 матчей, набрав 2 (1+1) очка.