В 1952 году окончил Алма-Атинское театральное училище. В 1952-1956 годах работал в труппе Семипалатинского областного драматического театра имени Абая, с 1957 года и до конца жизни работал в Джамбулском областном казахском театре драмы.
Среди наиболее известных ролей, исполненных Максутом Амировым на театральной сцене: Кодар, фон Эберман, Мирошкин («Козы Корпеш – Баян слу», «Амангельды» и «Солдат из Казахстана» по Г. М. Мусрепову), Базаралы, Казан, Котибар («Абай», «Каракипчак Кобланды» и «Айман — Шолпан» М. О. Ауэзова), Малик («Приятели» А. Тажибаева), Тагдыр («Неизвестный герой» А. Абишева), Таласбай («Тоты — Тамилла» Ш. Хусаинова), Хасен («Ох, эти девушки» К. Байсеитова и К. Т. Шангитбаева), Забелин («Кремлевские куранты» Н. Ф. Погодина), Городничий («Ревизор» Н. В. Гоголя) .