Родился 6 марта 1918 года в селе Синявка Черниговской области в семье служащих.
Окончил 8 классов Корюковской средней школы.
В 1934—1935 годах учился на рабфаке Киевского института кожевенной промышленности, затем поступил в Киевский индустриальный институт (1935—1937).
С 3-го курса Института по спецнабору ЦК ВЛКСМ направлен в военно-морское училище.
С 1937 по 1939 год учился в Высшем военно-морском училище им. М. В. Фрунзе.
В 1943 году — на Высших ордена Ленина специальных офицерских курсах ВОЛСОК в городе Самарканд.
Окончил Академические курсы командиров при Военно-морской академии в 1959 году.
После окончания училища направлен на Краснознамённый Черноморский флот, на крейсер «Красный Кавказ».
В 1939—1940 годах — командир рулевой группы на учебном корабле «Днепр».
1940—1942 годы — командир штурманской боевой части крейсера «Коминтерн».
В 1942 году — помощник флагманского штурмана флота, затем командир штурманской боевой части на крейсере «Красный Кавказ» и старший помощник командира линкора «Севастополь».
Во время Великой Отечественной войны участвовал в обороне Одессы и Севастополя, в Керченско-Феодосийской (1941—1942) и Керченско-Эльтигенской (1943) операциях.
В начале войны в городе Николаев лично сбил немецкий самолёт.
1946—1949 годы — флагманский штурман эскадры Черноморского флота.
1949—1951 годы — командир эсминца «Огневой».
1951—1956 годы — старший помощник линкора «Севастополь», командир бригады эсминцев, командир крейсера «Дзержинский».
1956—1957 годы — начальник штаба дивизии крейсеров.
1957—1958 годы — помощник командующего флота по ПВО.
В 1959 году по представлению Главкома ВМФ С. Г. Горшкова назначен командиром 4-й Тихоокеанской океанографической экспедиции ТОГЭ-4.
ТОГЭ-4 — уникальное соединение Военно-морского флота СССР, предназначенное для испытаний межконтинентальных баллистических ракет в акватории Тихого океана. ТОГЭ-4 — это легенда прикрытия, фактическое наименование — Плавучий измерительный комплекс Министерства Обороны СССР.
В 1960 году Ю. И. Максюте присвоено звание контр-адмирал.
Под руководством контр-адмирала Ю. И. Максюты будущие корабли ТОГЭ-4 были переоборудованы на Балтийском заводе, после чего они совершили переход Северным морским путём в Петропавловск-Камчатский в бухту Тарья с остановками в портах Североморск, бухта Михайлова, остров Диксон, бухта Провидения.
В сложных условиях начального периода освоения космоса Ю. И. Максюта проявил высокие организаторские и творческие способности, инициативу и настойчивость в выполнении правительственных заданий.
За обеспечение полета Ю. А. Гагарина награжден Орденом Ленина.
С 1978 года — постоянный член Федерации космонавтики СССР.
В 1964 году Ю. И. Максюта назначен начальником Государственного научно-исследовательского навигационно-гидрографического института Министерства обороны.
Принимал активное участие на всех этапах создания первой отечественной навигационной спутниковой системы, новых ПЛ, перспективных кораблей и их вооружения.
Участвовал в составлении программы развития технических средств навигации на долгосрочный период, а также в разработке программы изучения геофизических полей Земли для обеспечения точности оружия ВМФ.
Уволен в запас в 1978 году.
Похоронен на Волковском кладбище Ленинграда.
В 1976 году за участие в разработке навигационной спутниковой системы получил звание лауреата Ленинской премии.