Манаш Кабашевич Козыбаев родился в селе Итсары Мендыкаринского района Кустанайской области. В 1953 году с отличием окончил исторический факультет Казахского государственного университета имени С. М. Кирова. В том же году вступил в ряды КПСС. С 1953 по 1958 годы был преподавателем в Кустанайском педагогическом институте. В 1958—1974 годы работал старшим научным сотрудником, учёным секретарём, а затем заведующим сектором партийного строительства Института марксизма-ленинизма при ЦК Компартии Казахской ССР. В 1970 году учёному была присуждена премия имени Чокана Валиханова Президиума АН Казахской ССР. В период с 1974 по 1980 годы Козыбаев был сначала заведующим кафедрой Алматинского зооветеринарного института, затем зав. кафедрой Института повышения квалификации преподавателей общественных наук при КазГУ имени С. М. Кирова. В 1980—1986 годах Козыбаев был главным редактором Казахской Советской энциклопедии. С 1986 по 1988 годы Манаш Кабашевич был заведующим отделом историографии Института истории, археологии и этнографии имени Ч. Ч. Валиханова Академии наук Казахской ССР. С 1988 по 1993 годы Козыбаев занимал должность директора данного института. В 1989 году учёный был избран академиком Академии наук Казахской ССР. В 1990—1993 годы Козыбаев избирался народным депутатом Верховного Совета Республики Казахстан. В 1995 году Манаш Кабашевич был награждён Государственной премией Республики Казахстан, а в 1997-м — Президентской премией мира и духовного согласия.
Автор свыше 500 публикаций, в т.ч. 10 монографий, глав и разделов в 15 коллективных трудах, 35 брошюр и множества статей, часть из которых переведена на языки народов СНГ, издана в США, Франции, Китае, Болгарии и др. странах. Им написаны учебники и учебные пособия по истории Казахстана.
Именем М. К. Козыбаева названы: