Родился в небогатой семье Марка и Анны, в девичестве Локшыньской. Отец переселился в Луцк из Кукизова (Красный Остров) — он был последним членом той общины — и всю жизнь проработал учителем в начальной школе. Семья Мардковичей жила на Караимской улице, где была сосредоточена вся жизнь луцкой караимской общины.
Начальную школу и гимназию Александр окончил в родном городе. После выпуска стал работать в нотариальном бюро. В 1901 году оставил Луцк, направившись сначала в Брест, а затем в Екатеринослав. Там он также работал в нотариальной конторе и одновременно продолжал образование на юридических курсах в Киеве. В 1903 году, сдав с отличием экзамен на право самостоятельного исполнения обязанностей нотариуса, он открыл собственное нотариальное бюро.
Завёл семью и брал активное участие в общественной жизни местной караимской общины. В это же время два его произведения были опубликованы в журнале «Караимская жизнь» (Москва).
Во время революции в Российской империи семья Мардковичей вернулась в Польшу. А в декабре 1921 года они возвратились в родные места.
В Луцке Александр Мардкович начал работать в одной из нотариальных контор, одновременно посвящая себя активной общественной деятельности.
Отдавая себе отчёт в том, что караимский язык постепенно уходит в небытие, он в конце 1920-х годов выступил с инициативой создания караимского издательства. Опубликованные им труды имели целью возбуждение среди караимов интереса к собственному прошлому, укрепление традиций и посредством предоставления материалов для чтения — также распространение знания языка.
В 1930—1939 годах Мардкович издал 16 наименований книг, из которых одиннадцать — на караимском языке. В большинстве случаев он сам был их авторов, сам готовил публикации к печати и издавал за собственный счёт.
Конец деятельности Мардковича положила Вторая мировая война.
Цикл «Караимская библиотечка»
Главным начинанием Мардковича, делом его жизни было издание караимоязычного журнала.
В 1931—1939 годах было издано двенадцать номеров «Karaj Awazy» («Голос караима»), содержащих статьи разнообразной тематики, литературные произведения, детские стихотворения и загадки, информацию об актуальных событиях в жизни караимских общин в Польше и за её пределами.
Большая часть работ принадлежала самому Мардковичу; кроме того здесь публиковались работы Т. Леви-Бабовича, З. Зараховича, Б. Кокеная, Й. Малецкого, С. Рудковского, Ш. Фирковича, поэтические произведения З. Абрагамовича, С. Кобецкого, Ш. Лопатто, а также сочинения таких авторов, как Мошэ Дерйэ или рибби Йозеф из Деражного.