М. О. Зариньш родился 11 (24) мая 1910 года в Яунпиебалге (ныне Латвия) в семье сельского учителя.
Окончил Елгавский учительский институт (1929) и Латвийскую консерваторию (1933) по классам композиции (Язеп Витол), фортепиано (Арвид Даугулис) и органа (Петерис Пауль Йозуус). Первые композиции относятся к 1936 году, в 1939 году написана и поставлена в Риге опера «Барин и гусляр» (латыш. Kungs un sp?lman?tis). Сам Зариньш отмечал влияние Мориса Равеля и Клода Дебюсси на своё формирование как композитора.
С установлением в Латвии советской власти был в 1940 году назначен музыкальным руководителем и дирижёром театра Дайлес Э. Смильгиса, проработал в этой должности 10 лет, написав музыку ко множеству спектаклей, включая «Ромео и Джульетту», «Много шума из ничего», «Двенадцатую ночь» Шекспира, «Марию Стюарт» Ф. Шиллера, «Дубровский» А. С. Пушкина, «Анну Каренину» Л. Н. Толстого и др. Этот этап творчества Зариня, кроме того, характеризуется интенсивной работой с латышским музыкальным фольклором: Зариньш обработал около 20 народных песен, написал хоровой цикл «12 латышских народных танцев и хороводов» (1948), сюиты «Народная песня о мире» (1951) и «Колхозные дайны» (1952), ряд вокальных сочинений идеологического содержания — в частности, вокальные циклы «Советский юмор и сатира» (1950) и «Советская женщина — борец за мир» (латыш. Padomju sieviete — miera c?n?t?ja; 1951).
В 1951—1952 годы он руководил Латвийской филармонией и возглавлял правление Союза композиторов Латвии. Карьера Зариня как официального советского композитора развивалась по восходящей: в 1955 г. ему присвоено звание заслуженного деятеля искусств Латвийской ССР, в 1956 г. он награждён орденом Ленина и вновь избран председателем правления республиканского Союза композиторов (до 1968 года, в 1962—1968 годы одновременно секретарь правления СК СССР). Всё это время Зариньш продолжал писать произведения, отвечающие идеологическим требованиям: в 1955 году состоялась премьера его оперы «К новому берегу» (латыш. Uz jauno krastu, по одноимённому роману В. Т. Лациса — главному произведению латышского социалистического реализма), за ней последовали «Опера нищих» (латыш. Nabagu opera; 1956, по рассказу Ж. Гривы о жизни турецкой бедноты, с использованием стихов Омара Хайяма и Назыма Хикмета), оратория «Махагони» (1965, о судьбе П. Лумумбы, с использованием стихов Л. Хьюза), «Опера на площади» (латыш. Opera uz laukuma; 1969, к столетию В. И. Ленина, по стихам В. В. Маяковского и статьям Дж. Рида) и т. д. вплоть до детской сюиты «Незнайка в Солнечном городе» (латыш. Nezin?tis Saules pils?t?; 1962, по одноимённой книге Н. Н. Носова). Кроме того, в 1950-70-е гг. Зариньш писал много музыки к кинофильмам.
Все эти работы, однако, служили Зариню, по выражению современного музыковеда, индульгенциями. В действительности его занимают проблемы неоклассицизма и полистилистики, что находит отражение, прежде всего, в таких сочинениях, как Партита в стиле барокко (латыш. Partita baroka stil?; 1963), Concerto grosso для клавесина, рояля и симфонического оркестра (1968; вторая редакция 1973), Concerto innocente для органа с оркестром (1969), Вариации BACH для органа (1970), «Песни Билитис» (латыш. Bilitis dziesmas) и др., а также три проникнутые иронией небольшие оперы — «Чудо святого Маврикия» (латыш. Sv?t? Maur?cija br?numdarbi; 1964, поставлена в Риге 1974), «Чудесные похождения старого Тайзеля» (латыш. Didri?a Taize?a brini???gie piedz?vojumi; 1982, по собственной повести) и «Сон в летнюю ночь» (латыш. Sapnis vasaras nakt?; 1984). Литературное творчество, сочетающее элементы реализма и фантастики, в последние годы жизни мастера стало превалирующим.
М. О. Зариньш умер 27 февраля 1993 года в Риге.
На последнем этапе своего творчества Зариньш переключился, главным образом, на занятия литературой. Начав со сборника рассказов на музыкальные темы, он в 1972 г. выпустил роман «Фальшивый Фауст, или переправленная, пополненная поваренная книга — П. П. П.» (латыш. Viltotais Fausts jeb p?rlabota un papildin?ta pav?rgr?mata, русский перевод 1984, английский перевод 1987), полный «гротескных переплетений языковых и стилистических слоёв». За ним последовал роман «Календарь капельмейстера Коциня» (латыш. Kapelmeistara Koci?a kalend?rs; 1982) и ряд других сочинений.