Урожденная Сканави. Родилась в семье инженера (отец) и врача (мать). В 1922 г. семья переехала в Москву, через несколько лет отец был обвинен во «вредительстве» и арестован; был реабилитирован по смерти Сталина.
Окончила актерский факультет театрального училища при Театре Революции и в 1939 г. стала актрисой Театра Революции (ныне — Московский театр им. Маяковского). Выйдя замуж, поменяла фамилию, став Строевой.
Во время войны работала и училась на театроведческом факультете ГИТИСа. Затем закончила аспирантуру ГИТИСа. Защитила кандидатскую диссертацию по теме «Работа К. С. Станиславского и В. И. Немировича-Данченко над пьесами А. П. Чехова».
М. Н. Строева является автором многих театроведческих статей, рецензий на спектакли, различных публикаций по истории советского театра, книг, заведовала отделом драматургии в журнале «Театр». Но после некоторых ее особо резких статей (в том числе «Критическое направление ума») и публикации в журнале по ее инициативе пьесы А. М. Володина «Фабричная девчонка», вызвавших дискуссию и неприемлемую позицию властей, на журнал обрушиваются гонения, и М. Н. Строевой пришлось уйти с работы.
Из воспоминаний В.Кардинa:
Однако друзья не дали пропасть, она стала сотрудником Института Истории Искусств (ВНИИ Искусствознания), продолжая написание театральных статей и рецензий, защитила докторскую диссертацию по теме «Режиссер Станиславский (1898—1917)».
В 1988 попала в автомобильную аварию, тяжелые травмы подорвали всю ее жизнь и работу. Долго лечилась, в том числе за границей, куда эмигрировала дочь, но болезнь не отступала.
Скончалась в 2006 году. Похоронена на Новодевичьем кладбище.
Первый супруг — Алексей Михайлович Строев. Сын Андрей Алексеевич Строев 1947 г.р.
Второй супруг — писатель Наркирьер, Фёдор Семенович. Дети 1955 г.р.: близнецы Саша (филолог Строев Александр Федорович) и Ляля (актриса Строева Елена Фёдоровна, в начале 90-х эмигрировала в США c дочерью Марианной Строевой 1982 г.р.)