Международный дебют состоялся в 1973 году в матче с Боливией. Уже через год Кемпес вошёл в список 22, поехавших на чемпионат мира 1974. Но ни он, ни его сборная не смогли проявить себя полностью. Очень быстро Кемпес заключил контракт с испанской «Валенсией».
Он был единственным легионером, которого наставник аргентинской сборной Сезар Луис Менотти включил в состав команды на домашний чемпионат мира 1978 года. Это прибавление сыграло решающую роль: Кемпес стал лучшим бомбардиром, забив шесть голов, в том числе два мяча в финальном матче с Голландией.
На своем третьем Чемпионате мира 1982 ему снова не удалось забить ни одного гола. После замены в матче с Бразилией его карьера на Чемпионатах мира закончилась на 18 проведённых игр, таким образом ему не хватило всего трёх матчей, чтобы повторить мировой рекорд.
Всего Кемпес сыграл за сборную 43 матча и забил 20 мячей.
Клубная карьера Кемпеса началась в клубе «Институто» из Кордовы. Уже через год он перебрался в «Росарио», где провёл 5 сезонов и забил 86 мячей в 107 матчах. В 1976 году он перешёл в испанскую «Валенсию». Кемпес закончил свой первый сезон в этом клубе, играя против плотной испанской защиты, лучшим бомбардиром, забив 24 гола. Это был лучший показатель за последние 10 лет.
28 мячей, забитых в следующем сезоне, стали высочайшим достижением со времен Ди Стефано, забившего 31 гол в сезоне 1956-57 годов.
После победы на Кубке Испании 1979 года Кемпес забил решающий пенальти в финальном матче Европейского Кубка Обладателей Кубков 1980 года против «Арсенала». В марте 1981 года он заключил контракт на 1 000 000 фунтов с «Ривер Плейт».
Годом позже он вернулся в Испанию и играл сначала два года за «Валенсию», затем ещё два за «Эркулес» вплоть до завершения спортивной карьеры в Австрии.
При жизни Кемпеса, в октябре 2010 года, стадион в аргентинском городе Кордова был переименован в его честь, и теперь называется стадион "Марио Альберто Кемпес".