Мария Чайковская родилась в музыкальной семье во Львове. Она начала заниматься музыкой в Львовской музыкальной школе под руководством своего отца К. Р. Чайковского и Е. Э. Шпицера. В 1968 году Чайковская окончила Московскую консерваторию, а в 1971 – ассистентуру-стажировку по классу М. Л. Ростроповича. Во время учёбы она стала лауреатом Всесоюзного конкурса в Москве и Международного конкурса в Будапештее, а также получила диплом Международного конкурса им. П. И. Чайковского.
С 1968 по 1979 год Мария Чайковская преподавала в Киевской консерватории. В 1979 она стала доцентом, а затем в 1992 — профессором Московской консерватории. С 2002 она заведует кафедрой виолончели и контрабаса. Среди учеников Чайковской несколько лауреатов международных конкурсов. Она регулярно проводит концерты и мастер-классы в различных странах мира и входит в состав жюри многочисленных международных конкурсов. В 2006 году Марии Чайковской было присвоено звание Народная артистка Российской Федерации.