Марк Зельцер родился в Кишинёве. Его отец заведовал административно-хозяйственной частью Кишинёвской консерватории (впоследствии Молдавская государственная консерватория и Институт искусств имени Г. Музическу), мать — Берта Марковна Зельцер (урожд. Пестер, 1916—2008) — была концертмейстером и преподавателем в той же консерватории. Дед по материнской линии — Марк (Мордехай) Яковлевич Пестер (5 (17) марта 1884, Бендеры — 7 марта, 1944, Коканд) — был видным музыкальным педагогом и дирижёром в предвоенной Бессарабии, выпускник Санкт-Петербургской консерватории по классу скрипки Л. С. Ауэра, преподаватель частных кишинёвских консерваторий «Unirea» и «Municipal», с 1940 года — профессор и заведующий кафедрой струнных инструментов Кишинёвской консерватории.
Марк Зельцер начал обучение игре на фортепиано под руководством матери, учился в Кишинёвской средней музыкальной школе-десятилетке имени Е. Коки, дебютировал в девятилетнем возрасте в сопровождении камерного оркестра под управлением Ефрема Абрамовича Вышкауцана. Будучи студентом Московской государственной консерватории (класс специального фортепиано Я. В. Флиера, класс камерного ансамбля Т. А. Гайдамович), Зельцер стал лауреатом и дипломантом нескольких международных конкурсов (конкурса пианистов Ферручио Бузони в Больцано в 1968 году, гран-при конкурса Лонг-Тибо в Париже). После окончания консерватории был распределён в Кишинёв, где преподавал в Институте искусств имени Г. Музическу, а затем начал сольную карьеру.
Младший брат Зельцера — адвокат Эммануил Ефимович Зельцер (Emanuel Zeltser, род. 1953) — был в центре внимания нескольких громких процессов и находился в заключении в Белоруссии в 2007-08 годах. Дочь — Элизабет Зельцер-Волошин (Elizabeth Zeltser, род. 1978) — скрипачка.