Карьера Маркуса Альбека началась в клубе «Эргрюте» из его родного города Гётеборга. Оттуда он перебрался в датский «Люнгбю», затем в клуб итальянской Серии B «Бари», но не закрепился ни в одном, ни в другом, и вскоре вернулся в «Эргрюте». Играя в родном клубе, Альбек вскоре дебютировал в национальной сборной в Швеции. Это произошло 27 ноября 1999 года в товарищеском матче между Швецией и ЮАР.
В 2000 году Альбек предпринял новую попытку перебраться в более престижный чемпионат и перешёл в голландский «Херенвен», где за два сезона провёл 48 игр и забил 25 голов, а оттуда в 2002 году — в «Астон Виллу». Один сезон (2004/2005) Альбек играл в «Ганзе» из Ростока, а потом оказался в «Копенгагене».
1 ноября 2006 года Альбек забил первый в истории гол «Копенгагена» в Лиге чемпионов в ворота «Манчестер Юнайтед» («Копенгаген» сенсационно выиграл этот матч). Ещё до этого гол Альбека обеспечил клубу победу над иерусалимским «Бейтаром» в третьем квалификационном раунде Лиги Чемпионов, что позволило «Копенгагену» впервые попасть в основной этап этого турнира; после матча с «Манчестером» Маркус забил в Лиге Чемпионов ещё два мяча («Бенфике» и «Селтику»). Альбек был назван болельщиками «Копенгагена» лучшим игроком сезона 2006/2007.
1 июля 2008 года начинается срок контракта Альбека с «Эргрюте», куда он возвращается спустя 8 лет.
Альбек дважды участвовал в Чемпионатах мира — в 2002 и 2006 годах, сыграв на них по 4 матча. На чемпионате в Германии 2006 года Альбек в матче с Англией 20 июня забил гол, ставший 2000-м в истории чемпионатов мира. Также участвовал в трёх Чемпионатах Европы: 2000, 2004 и 2008, на которых провёл 5 игр и забил 1 мяч.