По национальности словак. После оккупации Чехословакии войсками нацистской Германии в 1939 году на словацких землях было образовано марионеточное государство — Словацкая республика. Вскоре после нападения Германии на СССР правительство Словацкой республики направило на советско-германский фронт так называемую «Быструю дивизию». Дзур был призван в словацкую армию и в составе этой дивизии направлен на советско-германский фронт.
Как и большинство призванных в дивизию словаков, он не желал воевать на стороне Гитлера и в январе 1943 года перешёл с оружием в руках на сторону Красной Армии, выразив желание воевать против нацистской Германии. Первоначально был зачислен в состав Красной Армии рядовым, участвовал в боях. В июле 1943 года направлен в 1-ю Чехословацкую отдельную пехотную бригаду (в 1944 году развёрнута в 1-й Чехословацкий армейский корпус), сформированную на территории СССР. До конца войны воевал в её составе — рядовой, командир взвода, офицер штаба, политработник. Участвовал в Киевской наступательной и Киевской оборонительной операциях в конце 1943 года, в Восточно-Карпатской операции и штурме Дукельского перевала, в зимне-весенних операциях 1945 года по освобождению Чехословакии от немецко-фашистских войск. Принимал участие в бою по освобождению своего родного села. Член Коммунистической партии Чехословакии с 1943 года.
После войны оставлен на службе в Чехословацкой Народной армии, занимал командные и штабные должности. Окончил в СССР Военную академию тыла и транспорта в 1952 году, Высшие академические курсы при ней в 1956 году, Военную академию Генерального штаба в 1966 году.
В 1961 году (по другим сведениям в 1958 году) назначен заместителем Министра национальной обороны ЧССР. В апреле 1968 года назначен Министром национальной обороны ЧССР. Во время событий Пражской весны прилагал большие усилия, чтобы армия оставалась вне политики. Во время ввода войск Варшавского договора в Чехословакию в августе 1968 года отдал приказ о недопущении сопротивления. Новое руководство Чехословакии оценило лояльность Дзура и он был оставлен на посту министра. Занимал этот пост до конца жизни. В 1972 году присвоено воинское звание генерал армии Чехословакии.
Был членом Центрального Комитета Коммунистической партии Чехословакии, депутатом Федерального собрания ЧССР (1971—1985). Награждён орденами ЧССР, СССР и других социалистических государств.
Мартин Дзур был тестем географа Дагмар Дзуровей.