Мартин родился в шотландском городе Гринок, 8 мая 1984 года. После школы он недолгое время играл в футбольном клубе «Гринок Мортон», однако с начала 2000-х годов начал сниматься в кино. Первую роль он исполнил в фильме Кена Лоуча «Милые шестнадцать лет», вышедшем на экраны в 2002 году. Фильм был номинирован на «Золотую пальмовую ветвь» Каннского кинофестиваля, а сам Мартин получил «Британскую независимую кинонаграду» в категории «Лучший начинающий актёр».
С 2003 по 2005 год Мартин Компстон исполнял роль Эвана Броди в английском телесериале «Монарх Глен», позже он сыграл ещё в одном фильме Лоуча («Билет на поезд»). В 2006 году, за роль в фильме «Настоящий север», Мартин Компстон был номинирован на получение кинонаграды «BAFTA Scotland Award» в категории «Лучший актёр».
Из последующих фильмов с участием Компстона наибольшую известность получили фильмы «Судный день» (2008 год) и «Исчезновение Элис Крид» (2009 год).