Косиба учился в Токийском университете. После окончания университета в 1951 году он поступил в аспирантуру и перешёл в 1953 году в Рочестерский университет в США. В 1955 году Косиба получает степень доктора за работу по сверхвысокоэнергетическим явлениям в космических лучах.
В марте 1970 года Косиба стал профессором Токийского университета.
В 1950-х и 1960-х годах Косиба занимался высокоэнергетическим космическим излучением и связанными с ним явлениями в верхних слоях атмосферы. Эти занятия привели его в 1970-х годах к физике мюонов и нейтрино, а также к физике элементарных частиц. После участия в JADE — совместном немецко-японском проекте на ускорителе DESY в Гамбурге, он сконструировал детектор Kamiokande для регистрации предсказанного теорией распада протона. Так как регистрация распада протона не удалась, он перестроил детектор в детектор нейтрино и смог зарегистрировать космические нейтрино: в процессе взрыва сверхновой 1987A удалось зарегистрировать 12 нейтрино, 9 из которых в первые 2 секунды. Это было первым прямым экспериментальным доказательством теорий о процессах, происходящих при коллапсе звезды, в частности теории нейтринного охлаждения.
В 2002 году, он был удостоен Нобелевской премии по физике. Совместно с Раймондом Дэвисом он получил половину премии, вторую половину получил Риккардо Джаккони.