Воспитанник академии клуба «Интер-Запрешич», Делач очень рано стал производить впечатление от своей игры. И после нескольких выступлений за сборную Хорватии до 15 лет, он стал привлекать к себе внимание со стороны больших клубов со всей Европы. Летом 2008 года, на Делача обратила внимание португальская «Бенфика» и переход был уже почти совершён, но два клуба не смогли договориться об условиях продажи и он остался в Запрешиче.
Он дебютировал в основе «Интера» 22 февраля 2009 года в сезоне 2008/09 против «Загреба», став самым молодым игроком, когда-либо появлявшихся в хорватском первом дивизионе (в возрасте 16 лет и 186 дней). Он впечатлил футбольных экспертов в своём дебютном матче, чудесным спасением своих ворот в 85-й минуте после пробития штрафного Давором Вугринецем, что способствовало победе «Интера» со счётом 1:0. Матей Делач был объявлен лучшим игроком этого матча. Делач продолжал показывать отличную игру на протяжении всего сезона 2008/09, отыграл 15 матчей и завершил свой дебютный сезон основным вратарём клуба.
11 сентября 2009 года, через два дня после поражения Хорватии на Уэмбли, хорватская сторона сообщила, что Делач остался в Лондоне на медицинское обследование и был на грани подписания предварительного контракта с английским клубом «Челси». В сообщениях утверждалось, что скауты «Челси» были на матчах чемпионата Хорватии и были удивлены его игрой, через нескольких месяцев спортивный директор и руководитель Академии «Челси» Франк Арнесен, отправился в Загреб согласовывать условия трансфера.
17 сентября 2009 года на пресс-конференции клуба «Интер-Запрешич» было объявлено, что Делач действительно подписал 5-летний контракт с «Челси», который вступит в силу в летнее трансферное окно 2010 года.
Остальную часть сезона Делач будет играть в клубе «Интер-Запрешич», его заработная плата будет выплачиваться клубом «Челси».
Отыграв восемь матчей за молодёжные сборные Хорватии разных возрастов в период между 2007 и 2008 годом, Делач был вызван в тренером Славеном Биличем в основную сборную, 30 августа 2009 года он присоединился к команде в качестве третьего основного вратаря (после Ведрана Рунье и Даниела Субашича) во время отборочных игр на чемпионат мира 2010 против сборных Белоруссии и Англии, став самым молодым игроком, вызывавшимся в сборную Хорватии.