Юнсон начинал заниматься футболом в командах «ИФК Кумла» и «Карлслундс ИФ». В 1992 году подписал профессиональный контракт с клубом высшего дивизиона «Эребру». Дебютировал 18 апреля 1993 года в матче чемпионата Швеции против «Хельсингборга», первый гол забил 16 августа 1993 года в ворота АИКа. В 1996 году перешёл в «Хельсингборг», с которым стал чемпионом Швеции — 1999. В сезоне-1997 стал лучшим бомбардиром команды с одиннадцатью голами в девятнадцати матчах.
Осенью 1999 года уехал за границу — в датский «Брондбю». Дебютировал в чемпионате Дании 12 марта 2000 года в матче против «Эсбьерга», в следующей игре забил гол. Тренер клуба Оге Харейде использовал Юнсона не только на позиции крайнего полузащитника, но и как нападающего. 1 ноября 2001 года сделал хет-трик в матче Кубка УЕФА против хорватского «Вартекса». В «Брондбю» Маттиас стал чемпионом Дании (2002) и обладателем Кубка (2003), в сезоне 2002/03 стал лучшим бомбардиром клуба с 11 голами. Был самым высокооплачиваемым футболистом Суперлиги с зарплатой 6,25 миллионов шведских крон в год.
После чемпионата Европы-2004 Юнсона за 850 тысяч фунтов купил новичок английской премьер-лиги — «Норвич Сити». Первый официальный матч в составе этой команды провёл 14 августа 2004 года в первом туре Премьер-лиги. Клуб выбыл из Премьер-лиги, Маттиас не смог закрепиться в Англии и через сезон вернулся на родину — в «Юргорден». В этом клубе он выиграл «дубль» — чемпионат и Кубок Швеции в 2005 году. В 2008—2009 годах Юнсона преследовали травмы. В сезоне-2009 «Юргорден» был вынужден играть в переходных матчах, гол Юнсона в дополнительное время помог клубу сохранить место в Аллсвенскан. Несмотря на травмы, в ноябре 2009 года продлил контракт с «Юргорденом» до конца 2010 года.
Маттиас Юнсон сыграл первый матч за сборную Швеции 22 февраля 1996 года против Японии. Он был участником чемпионата мира 2002 (дважды вышел на замену), чемпионата Европы 2004 (провёл 3 матча, забил гол в ворота Дании) и чемпионата мира 2006 (в первых двух матчах выходил на замену, затем в стартовом составе). После ЧМ-2006 Юнсон заявил о прекращении карьеры в сборной.
Женат, жену зовут Малин, у них есть сын Мелькер. Страдает приступами бронхиальной астмы.